2013年高考文科数学辽宁卷word解析版

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1(2013 辽宁，文 1)已知集合 A0,1,2,3,4，B x|x|2，则 AB( ) A0 B0,1C0,2 D0,1,2答案：B解析：|x|2，x (2,2)，即 Bx|2x2AB0,1，故选 B.2(2013 辽宁，文 2)复数 的模为( ) 1=izA B C D212答案：B解析： ，i1ii()z|z| ，故 选 B.2213(2013 辽宁，文 3)已知点 A(1,3)，B(4，1) ，则与向量 同方向的单位向量为( )ABA B4,543,5C D,答案：A解析：与向量 同方向的单位向量为 ，故选 A.BAB23,4,54(2013 辽宁，文 4)下面是关于公差 d0 的等差数列a n的四个命题：p1：数列a n是递增数列；p2：数列na n是递增数列；p3：数列 是递增数列；p4：数列a n3nd是递增数列其中的真命题为( )Ap 1，p 2 Bp 3，p 4Cp 2，p 3 Dp 1，p 4答案：D解析：如数列2，1,0,1,2，则 1a12a2 ，排除 p2，如数列 1,2,3，则 1，排除 p3，故选 D.na5(2013 辽宁，文 5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80) ，80,100若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )A45 B50 C 55 D60答案：B解析：根据频率分布直方图，低于 60 分的人所占频率为：(0.0050.01)200.3，故该班的学生数为50，故选 B.150.36(2013 辽宁，文 6)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin Bcos Ccsin Bcos A，且 ab，则B( )2A B C D3256答案：A解析：根据正弦定理 asin Bcos Cc sin Bcos A 等价于 sin Acos Csin Ccos A ，12b12即 sin(AC) .12又 ab，所以 AC ，所以 .故选 A.567(2013 辽宁，文 7)已知函数 f(x) ，则 ( ) 2ln193)1x1(lg2)lffA1 B0 C 1 D2答案：D解析：f( x) ，2ln(93)xf( x) ，f(x)f(x) ln 1112，又 lg 2，lg 2，故选 D.()lff8(2013 辽宁，文 8)执行如图所示的程序框图，若输入 n8，则输出 S( )A B C D49678910答案：A解析：当 n8 时，输出的 222210468S1135792013 辽宁文科数学 第 3 页 共 10 页11123579，49故选 A.9(2013 辽宁，文 9)已知点 O(0,0)，A (0，b)，B( a，a 3)若OAB 为直角三角形，则必有( )Aba 3B 1C 33()0aD 1b答案：C解析：若OBA 为直角，则 ，0OBA即 a2(a 3b) a30，又 a0，故 ；1若OAB 为直角时， ，即 b(a3b)0，得 ba 3；若AOB 为直角，则不可能所以 ba 3 0 或 ba 30，故选 C.110(2013 辽宁，文 10)已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上若AB3，AC4 ，AB AC，AA 112，则球 O 的半径为( ) A B17220C D 3答案：C解析：过 C，B 分别作 AB，AC 的平行线交于点 D，过 C1，B1 分别作 A1B1，A1C1 的平行线交于 D1，连接DD1，则 ABCDA 1B1C1D1 恰 为该球的内接长方体，故该球的半径 r ，故选 C.2234311(2013 辽宁，文 11)已知椭圆 C： (ab 0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于2=xyA，B 两点，连接 AF，BF.若 |AB|10，| BF|8，cosABF ，则 C 的离心率为( ) 45A B C D3574567答案：B解析：如图所示，根据余弦定理，| AF|2| BF|2| AB|22|BF| AB|cosABF，即|AF| 6，又| OF|2|BF| 2|OB |22|OB| BF|cosABF，即|OF|5.又根据椭圆的对称性，|AF| BF|2a14， a7， |OF|5c，所以离心率为 ，57故选 B.12(2013 辽宁，文 12)已知函数 f(x)x 22(a2)xa 2，g(x) x 22(a2)x a 28.设 H1(x)max f(x)，g(x)，H 2(x)minf(x )，g(x)(maxp，q表示 p，q 中的较大值，min p，q 表示 p，q 中的较小值)记H1(x)的最小值为 A，H 2(x)的最大值为 B，则 AB( ) Aa 22a16 Ba 22a16C16 D16答案：C解析：f( x)g(x )2x 24ax2a 282x (a2)x(a2) ， 1,),(,2fHf2,),(,gxaf可求得 H1(x)的最小值 Af(a2)4a4，H 2(x)的最大值 Bg(a2) 4a12，A B16.故选 C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13(2013 辽宁，文 13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 _答案：1616解析：由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为 2 的正四棱柱，故体积为 2242241616.14(2013 辽宁，文 14)已知等比数列a n是递增数列，S n是a n的前 n 项和若 a1，a 3 是方程x25x40 的两个根，则 S6_.答案：63解析：x 25x40 的两根为 1 和 4，又数列递增，所以 a11，a 34，q2.所以 S6 63.615(2013 辽宁，文 15)已知 F 为双曲线 C： 的左焦点，P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于2=196xy虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_答案：44解析：如图所示，设双曲线右焦点 为 F1，则 F1 与 A 重合，坐标为(5,0) ，则|PF| PF1|2a ，|QF|QF 1|2a，所以 |PF|QF| PQ|4a4b4a28，PQF 周长为2013 辽宁文科数学 第 5 页 共 10 页284b44.16(2013 辽宁，文 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_答案：10解析：设 5 个班级的人数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，则 ，123457x22137775x4，即 5 个整数平方和为 20，最大的数比 7 大不能超过 3，否 则 方差超过 4，故最大值为 10，最小值为 4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17(2013 辽宁，文 17)(本小 题满分 12 分)设向量 a( ，sin x)，b(cos x，sin x)，x .sin0,2(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x) ab，求 f(x)的最大值解：(1)由|a| 2 sin2x4sin 2x，3sin |b|2cos 2xsin 2x1，及|a |b|，得 4sin2x1.又 x ，从而 sin x .0,所以 .6(2)f(x)ab cos xsin 2x3sin1i2co.sn6x当 时， 取最大值 1.0,32sin6x所以 f(x)的最大值为 .18(2013 辽宁，文 18)(本小 题满分 12 分)如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O上的点(1)求证：BC平面 PAC；(2)设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，求证：QG平面 PBC.证明：(1)由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC.由 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PABC.又 PAACA， PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，所以 BC平面 PAC.(2)连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为 AOC 的重心，得 M 为 AC 中点由 Q 为 PA 中点，得 QMPC.又 O 为 AB 中点，得 OMBC.因为 QMMOM，QM 平面 QMO，MO 平面 QMO，BCPC C，BC 平面 PBC，PC 平面 PBC，所以平面 QMO平面 PBC.因为 QG 平面 QMO，所以 QG平面 PBC.19(2013 辽宁，文 19)(本小 题满分 12 分)现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取2 道题解答试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率解：(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次 编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1,2 ，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共 6 个，所以 P(A) .6215(2)基本事件同(1) ，用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1,5，1,6 ，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共 8 个，所以 P(B) .81520(2013 辽宁，文 20)(本小 题满分 12 分)如图，抛物线 C1：x 24y，C 2：x 22py(p0)点 M(x0，y 0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B (M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当 x0 时，12切线 MA 的斜率为 .(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)解：(1)因为抛物线 C1：x24y 上任意一点( x，y)的切线斜率为 ，且切=2xy2013 辽宁文科数学 第 7 页 共 10 页线 MA 的斜率为 ，所以 A 点坐标为 ，故切 线 MA 的方程为 .121,41()24yx因为点 M( ，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是 ，0 34y.2(1)p由得 p 2.(2)设 N(x，y)，A ，B ，x1x 2，由 N 为线段 AB 中点知 ，21,42, 12x.218切线 MA，MB 的方程为，211()24xxy2由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为， .120x1204y因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 4y 0，0所以 .1126由得，x0.43y当 x1x 2时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐 标满足 .243xy因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 .243xy21(2013 辽宁，文 21)(本小 题满分 12 分)(1)证明：当 x0,1 时， sin xx ；(2)若不等式 axx 2 2(x2)cos x4 对 x0,1恒成立，求实数 a 的取值范围3(1)证明：记 F(x) ，则 F(x) .sin 2cos 当 时，F(x)0，F(x) 在 上是增函数；,40,4当 时，F(x)0，F(x) 在 上是减函数,1x,1又 F(0) 0，F(1)0，所以当 x0,1时， F(x)0，即 sin x .2记 H(x)sin xx ，则当 x(0,1)时， H(x)cos x10，所以，H (x)在0,1 上是减函数，则 H(x)H(0)0，即sin xx .综上， sin xx ，x0,12(2)解法一：因为当 x0,1时，axx 2 2(x 2)cos x 43(a2)xx 2 2()sin(a2)xx 234x(a2)x.所以，当 a2 时，不等式 axx 2 2(x 2)cos x4 对 x0,1恒成立3下面证明，当 a2 时，不等式 axx 2 2(x 2)cos x4 对 x0,1不恒成立3因为当 x0,1时，axx 2 2(x 2)cos x 43(a2)xx 2 2()sin(a2)xx 234x(a2)xx 2(a2)x 3.(2)2a所以存在 x0(0,1)(例如 x0 取 和 中的较小值)满足 2(x 02)cos x040，312320ax即当 a2 时，不等式 axx 2 2(x 2)cos x40 对 x0,1不恒成立3综上，实数 a 的取值范围是(，2 解法二：记 f(x)axx 2 2(x2)cos x4， 则 f(x) a2x 2cos x2(x2)sin x .3 23记 G(x)f(x)，则G(x)23x4sin x2( x2)cos x.当 x(0,1)时，cos x ，因此12G(x)23x4 x(x2)2013 辽宁文科数学 第 9 页 共 10 页 .(2)0x于是 f(x)在0,1上是减函数，因此，当 x(0,1)时，f (x)f(0)a2，故当 a2 时， f(x)0，从而 f(x)在0,1上是减函数，所以 f(x)f (0)0，即当 a2 时，不等式 axx 2 2( x2)cos x4 对3x0,1恒成立下面证明，当 a2 时，不等式 axx 2 2(x 2)cos x4 对 x0,1不恒成立3由于 f(x)在0,1上是减函数，且 f(0)a20，f (1)a 2cos 16sin 1.72当 a6sin 1 2cos 1 时 ，f(1)0，所以当 x(0,1)时，f(x)0，因此 f(x)在0,1 上是增函数，故 f(1)7f(0)0；当2a6sin 12cos 1 时， f(1)0，又 f(0)0，故存在 x0(0,1)使 f(x0)0， 则当 0x x 0时，2f(x)f(x 0)0.所以 f(x)在0， x0上是增函数，所以当 x(0，x0)时，f(x)f(0) 0.所以，当 a2 时，不等式 axx 2 2(x 2)cos x4 对 x0,1不恒成立3综上，实数 a 的取值范围是(，2 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22(2013 辽宁，文 22)(本小 题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，AB 为 O 直径，直线 CD 与 O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直AB 于 F，连接 AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD BC.证明：(1)由直线 CD 与 O 相切，得CEB EAB.由 AB 为 O 的直径，得 AEEB，从而EABEBF ；2又 EFAB，得FEBEBF ，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由 BCCE，EFAB，FEBCEB，BE 是公共边，得 RtBCERtBFE，所以 BCBF.类似可证：Rt ADERtAFE，得 ADAF .又在 RtAEB 中，EF AB，故 EF2AF BF，所以 EF2ADBC.23(2013 辽宁，文 23)(本小 题满分 10 分)选修 44：