2001天津市理工高等数学竞赛真题答案

2001 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横杠上面。 ）1. 函数 在（-，+）上连续，则 a = 2 。， ；， 0cos1e)(2xaxfx2. 设函数 y = y(x) 由方程 所确定，则 。)cs(eyy 0dxy3. 由曲线 与 x 轴所围成的图形的面积 A = 。23 12374. 设 E 为闭区间0，4上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。Exdsinco385设 L 是顺时针方向的椭圆 ，其周长为 l ，则 4l 。142yxLyx2二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1. 若 且 ，则（ D ）0)(lim0uxAf)(li0（A） 存在； （B ） 0fx Axfx)(lim0（C） 不存在； （D） A、B、C 均不正确。)(li02. 设 ， ，则当 时， （ A ）xfsin2d43)(xg（A） 与 为同阶但非等价无穷小； （B） 与 为等价无穷小；)(g )(xfg（C） 是比 更高阶的无穷小； （D ） 是比 更低阶的无穷小。xf)( )(3. 设函数 对任意 x 都满足 ，且 ，其中 a、b 均为非零常数，则f )(1(xafff0在 x = 1 处（ D ）)(f（A）不可导； （B）可导，且 ；f)1(（C）可导，且 ； （D ）可导，且 。bf)( ab4. 设 为连续函数，且 不恒为零，I= ，其中 s 0，t 0，则 I 的值（ C ）)(xf )(xftsxf0d)(（A）与 s 和 t 有关； （B）与 s、t 及 x 有关；（C）与 s 有关，与 t 无关； （D）与 t 有关，与 s 无关。5. 设 u (x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则02yxu02yu（ B ） 。（A）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；（B）u (x，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；（C）u (x ，y ) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D）u (x ，y ) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限 。 （本题 6 分）)21ln(ecoslim202xx解： ；!41cs4；)(821)(2!e 4422 xoxoxx ；(1)1ln( 2由此得到： )(281)(!421lim)21ln(ecoslim2440202 xoxoxxx 。41)(21li40xox四、计算 。 （本题 6 分）02de1x解： 0 00022de1 de1e1de1x xxxxxx命： ，于是ttx， 则 2ln1lnd1d)1(de1102 tttttx五、设函数 的所有二阶偏导数都连续， ， ，求),(yxu xuyx),(22且 21),(xu。 （本题 6 分）)2(1xu，解： 两边对 x 求导，得到, 1)2,(),(1xux代入 ，求得 ，21),(xu,2两边对 x 求导，得到 ，21,x xuxu2),(2),(11 两边对 x 求导，得到 。),(2u ,221以上两式与已知 联立，又二阶导数连续，所以 ，故22yu 21u。xx34)2(1，六、在具有已知周长 2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题 7 分）解：设三角形的三条边长分别为 x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积 S 的平方为)()(2 zpyxpS则本题即要求在条件 x + y + z = 2p 之下 S 达到的最大值。它等价于在相同的条件下 S2 达到最大值。设 ，)(),(2xyxf 问题转化成求 在),(fpyxpyxyD2,0,),( 上的最大值。其中 D 中的第 3 个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有 x + y z，而由假设 x + y + z = 2p，即 z = 2p（x + y） ，故有 x + y z = 2p（x + y） ，所以有 x + y p。由 ，0)(fy求出 在 D 内的唯一驻点 。因 在有界闭区域 上连续，故 在),(yxf 32,pM),(yxfD),(yxf上有最大值。注意到 在 的边界上的值为 0，而在 D 内的值大于 0。故 在 D 内取得它),(yxf ,f在 上的最大值。由于 在 D 内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点 M 处取得。于是有，273,),(max4),( pfyfy 此时 x = y = z = ，即三角形为等边三角形。32p七、计算 。 （本题 8 分）yxyxI dede12214解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。e2183d)e(eeed 121212214 2 xyxyxyI x八、计算曲面积分 ，其中 为上半 yazxazaI dd2333球面 的上侧。 （本题 7 分）22yxaz解：记 S 为平面 z = 0（ x2 + y2 a2 )的下侧， 为 与 S 所围的空间区域，555 0320042022 232339416 dsindsind3 ddd2aa rryxazyxyx yxzzzI aayxS九、已知 a0，x 10，定义 ,3213413nxxnn求证： 存在，并求其值。 （本题 8 分）nxlim解：第一步：证明数列 的极限存在：nx注意到：当 n 2 时， ，因此数列 有下314nnnxax 443axnnx界。又 ，即 xn+1 xn ，所以 单调递减，由极限存在准则知，数413nnxax3a列 有极限。第二步：求数列 的极限nx设： ，则有 。Anlim04a由 ，31li4li nnn xx有 ，解得 （舍掉负根） ，即 。3Aa4a4limaxn十、证明不等式 。 （本题 7 分）， xxx221ln1证明：设 ，则)(f 。2222 1ln11ln)( xxxxf 命 ，得到驻点 x = 0。由0)(xf 01)(2xf可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为 ，于是对任意 有 ，f ，x0)(xf即所证不等式成立。十一、设函数 在闭区间0，1 上连续，在开区间（0 ，1）内可导，且 ，求证：)(xf 143)0()(fdxf在开区间（0，1）内至少存在一点 ，使得 。 （本题 7 分）)(f证明：由积分中值定理知，存在 ，使得1,43)0(d)(4d)(1)(1343 fxfxff 又函数 在区间 上连续， 内可导，由罗尔定理知，至少存在一点)(xf,0,0，使得 。1,0,)(f十二、设 在区间 上具有二阶导数，且 ，)(xf),a0)(Mxf， 。证明 。 （本题 8 分）20Mf20)(xf证明：对任意的 ，及任意的 h 0，使 x + h