《高等数学》课程学习指导跟讨论题

高等数学课程学习指导与讨论题第三章 一元函数积分学及其应用（24 学时）微分( 导数)与积分是本书中两个最重要的基本概念，它们分别反映了从局部和整体两个侧面来研究非均匀变化的数学方法，两者之间有着密切的联系，也有着共同的思想方法，一元函数的积分学包含积分与不定积分两部分，定积分实质上是处理均匀量的乘法在处理非均匀分布的整体量方面的推广。粗糙地讲，定积分就是微分的无限积累；而不定积分则是微分(导数)的逆运算，它为定积分的计算工辟了途径。同学们应该仔细地去领会定积分概念中所包含的处理问题的思想方法和步骤，并在定积分应用一节中通过实例和习题来消化和灵活运用；应熟练地使用换元法和分部积分法来计算不定积分，并能熟练地求解简单的微分方程。本章教学实施方案讲 课 16 学时1定积分的定义及其性质(3 学时)；2微积分基本公式与基本定理(2 学时)；3换元法(2 学时) ；4分部积分法(2 学时) ；5定积分应用(2 学时)；6几类简单的微分方程(3 学时) ； 7反常积分(2 学时) 。讨论课 2 学时，积分概念与基本定理(2 学时)；习题课 6 学时1微积分基本公式与基本定理(2 学时)；2. 积分法及定积分的应用（2 学时） ；2反常积分与简单的微分方程(2 学时)。第一节 定积分的概念及其性质一、教学内容定积分问题举例。定积分定义及其几何意义，定积分的存在条件，定积分的性质，重点：定积分定义。二、教学要求1通过问题举例和定义,深入领会用定积分研究非均匀分布量的整体性态的思想方法和步骤。2理解“有界是可积的必要条件” ， “连续是可积的充分条件” 。3会使用定积分的性质。性质中关于可积性的证明不作要求。4正确理解定积分的几何意义，并能利用几何意义与定积分性质来对某些简单定积分的值进行估计。5正确理解积分中值定理及其几何意义，了解中值定理在平均值方面的应用。三、预习内容1. 微积分基本公式；2. 微积分基本定理；3. 不定积分的概念与性质。四 思考题1. 将区间 等分，则 取子区间 的左端点，nba, kknnabx,21,1kx则 ，相应积分和式的极限为)(11xknk nabaf1)(lim若该极限存在，它是否等于 在 上的定积分 ？两者相等需)(xf,axfd)(什么条件？2. 为连续的周期函数，且为奇函数，则 ，其中 为任意实)(xf 0)(Taxf数， 为的周期，用几何意义说明这个结论是否成立？T3. 若在区间 上 且 ，则 ，问等号有可能成立ba,0)(xf)(fd)(baf吗?试举例说明 .第二节 微积分基本公式与基本定理一、教学内容及重点微积分基本公式，微积分基本定理，不定积分的概念与性质，重点：Newton-Leibniz 公式，微积分第一基本定理及其应用。二、教学要求1理解原函数与不定积分的概念2牢记 Newton-Leibniz 公式并会运用，了解它们反映的物理意义，理解它将定积分计算问题转化为求被积函数的原函数问题。3正确理解变上限积分与微积分第一基本定理的涵义及其分析证明，并能熟练地应用第一基本定理求变限积分的导数。4了解微积分第二基本定理，会计算分段连续函数的定积分。5熟记 P186 的基本积分表，并能利用此表和不定积分的性质计算简单的不定积分。三、预习内容1.两类换元法;2.分部积分法。四 思考题1. 若 在区间 上除 c 点外处处连续，c 为 的一个第一类间断点，)(xf,ba)(xf则 Newton-Leibniz 公式能否成立？应怎样修改？2. 求下列积分的导数： 203d1xt13dxtxt02d1)(并研究一般情况 ， , 求导的方)(xatf)(xtf)(,xf法，其中 f 连续， 可导.,3. 分段函数的定积分与不定积分怎样计算？第三节 两种基本积分法一、教学内容 换元法与分部积分法。二、教学要求1能熟练地利用两种换元法求不定积分。2能熟练地利用分部积分法求不定积分。3会正确利用定积分的换元法与分部积分法直接计算定积分。4了解初等函数的积分问题，并知道查用积分表。三、预习内容建立积分表达式的微元法。四 思考题1. 计算 与 ，其计算过程有什么不同？并考虑下列积分计算xdcos2xdcos3过程与那一个类似. sin2xdcosin34 （其中 、 至少有一个xdconmmn是奇数）2. 计算积分 ，进一步用类似方法计算 ，并讨论更一)1(2x)1(d2x般的有理函数积分的方法.3. 第二换元法常用的有哪几种代换，分别适用于那种积分？4. 利用分部积分法计算积分 xdsinxdarcsinxedxdln比较它们计算方法上的区别，并小结分部积分法适用哪种类型的积分.第四节 定积分的应用一 教学内容建立积分表达式的微元法，定积分在几何中的应用举例，定积分在物理中的应用举例。二、教学要求1深入领会微元法；2通过几何与物理实例能灵活地运用微元法解决一些简单的有关定积分的实际问题，包括正确确定积分微元，确定积分上下限。3不提倡记忆几何或物理应用中的积分公式，要求用微元法的思想和步骤去做应用题。三、预习内容无穷区间上的积分及无界函数的积分的概念。第五节 反常积分一、教学内容无穷区间上的积分，无界函数的积分，两类反常积分的审敛准则， 函数。二、教学要求1理解两类反常积分收敛与发散的概念。2了解两反常积分审敛法则。3能运用定义和审敛法判定一些简单反常积分的敛散性，并用定义计算简单收敛反常积分的值。4了解 函数。三、预习内容微分方程的基本概念，可分离变量的方程，一阶齐次方程，一阶线性方程，可降阶的高阶方程。四 思考题1. 按定积分的定义与存在定理，积分区间 必须有限， 在 上必须,ba)(xf,ba有界.否则积分不存在.而我们现在又讨论无限区间和无界函数的积分.这两者是否矛盾？2. 积分 能否用下面极限来定义：xfd)(axfxf d)(limd)(为什么？3. 积分 定义为两个极限的和xfd)( bccaxfxff d)(lid)(li)(若这两个极限有一个不存在，则该积分发散；若这两个极限都不存在，积分是否可能收敛？为什么？dxf)(第六节 几类简单的微分方程一、教学内容及重点微分方程的基本概念，可分离变量的方程，一阶齐次方程，一阶线性方程，可降阶的高阶方程，应用举例。二、教学要求1正确理解常微分方程的有关基本概念，包括：常微分方程的阶数，解、初始条件，通解与特解。2正确识别微分方程的各种类型并熟练地运用各种类型的解法去求通解和特解。3能把一些较为简单的方程通过变量替换化成已知类型的方程，从而求得其解。4能对一些较为简单的实际问题建立微分方程并求解。三、预习内容常数项级数的概念与性质，Caychy 收敛原理，正项级数的审敛准则。四 思考题1. 验证 与 都是微分方程 的通解.这两个通解中哪cxy2ln2exyxy2d一个更好一些，为什么？2. 微分方程的通解是否是它所有解的表达式？3. Bernoulli 方程 中，为什么要求 ？yxQPxy)(d1,04. 型方程中作变量代换 ， 为什么不能直接带入原方),(yf Pyxd程求解？第五次讨论题1.设 是连续函数， 是 的原函数，则)(xf )(xFf（A） 是奇函数 必是偶函数；（B） 是偶函数 必是奇函数；)(xf )(x（C） 是周期函数 必是周期函数；F（D） 是单调增函数 必是单调增函数.)(xf )(x2.设 连续， ， 为任意常数，说明下列等式是否成立，为什)(fC么？ dxfxfa)()( bxdfCdf)()( bbaut Fxa xfdfdx)()( )()(4若 ，则 以上结论是否01)(efx .0,21,)(xCxedf正确？为什么？5设函数 在区间 上的图形为：)(xfy3,则函数 在 上的图形为（ ） xdtfF0)()(3,1（A） （B）（C） (D)6 在a,b上可积与 在a,b 上存在原函数是否是一回事？考察下)(xf )(xf列两个例子，说明这个问题。设 证明 处处可导。若令 试问,001sin)(2xxF)(xF),(xfF在区间 上可积吗？)(f,若 则 在 上是否可积？原函数是否存在？,sgnx)(f1,7.下列方法正确吗？如果不正确，试给出正确方法。若 则 为 的原函数，故.1,)(32xf .1,4,3)(xF)(f.8)0()(20df8设 连续， (常数)， ，试问 是否可xAxflim0 dtxf10)()()(x导？ 是否连续？)(9计算 ， ， ，xdtd0410421xdt 241xdt(其中 连续)， 并小结变上限积分的求导xatfd)(f t02)sin(法。10设 在a, b上