数字测图原理与方法全套课件第九章《导热》

第九章导热研究方法研究方法从连续介质的假设出发、从宏观的角度从连续介质的假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。响因素之间的关系。连续介质连续介质一般情况下，绝大多数固体、液体及气一般情况下，绝大多数固体、液体及气体都可以看作连续介质。但是当分子的平均体都可以看作连续介质。但是当分子的平均自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能认为是连续介质。能认为是连续介质。191导热理论基础主要内容主要内容（1）与导热有关的基本概念；与导热有关的基本概念；（2）导热基本定律导热基本定律；（3）导热现象的数学描述方法。导热现象的数学描述方法。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。1导热的基本概念导热的基本概念（1）温度场温度场TEMPERATUREFIELD在在时刻，物体内所有各点的温度分布称时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的为该物体在该时刻的温度场温度场。2一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为角坐标系中，温度场可表示为非稳态温度场非稳态温度场温度随时间变化的温度场，温度随时间变化的温度场，其中的导热称为其中的导热称为非稳态导热非稳态导热。稳态温度场稳态温度场温度不随时间变化的温度场，温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为其中的导热称为稳态导热稳态导热。一维温度场一维温度场二维温度场二维温度场三维温度场三维温度场3（2）等温面与等温线等温面与等温线在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为面称为等温线等温线或或等温面等温面。等温面上任何一条线都是等温面上任何一条线都是等温线。如果用一个平面和一组等温线。如果用一个平面和一组等温面相交等温面相交,就会得到一组等温就会得到一组等温线。温度场可以用一组等温面或线。温度场可以用一组等温面或等温线表示。等温线表示。等温面与等温线的特征等温面与等温线的特征同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。物体的边界，不可能在物体中中断。4（3）温度梯度温度梯度TEMPERATUREGRADIENT在温度场中，温度沿在温度场中，温度沿X方方向的变化率向的变化率即偏导数即偏导数明显明显,等温面法线方向的等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最温度变化率最大，温度变化最剧烈。剧烈。温度梯度温度梯度等温面法线方向的温度变化率矢量等温面法线方向的温度变化率矢量N等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。温度梯度是矢量，指温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。向温度增加的方向。5在直角坐标系中，温度梯度可表示为在直角坐标系中，温度梯度可表示为分别为分别为X、Y、Z方向的偏导数方向的偏导数I、J、K分分别为别为X、Y、Z方向的单位矢量。方向的单位矢量。（4）热流密度热流密度HEATFLUX热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量Q表示热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。NTDADQ6在直角坐标系中，在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为可表示为QX、QY、QZ分别表示分别表示Q在三个坐标方向的分量的大小。在三个坐标方向的分量的大小。2导热的基本定律付里叶付里叶（FOURIER）于于1822年提出了著名的导热基本年提出了著名的导热基本定律定律傅里叶定律傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。度之间的关系。对于对于各向同性物体各向同性物体,付里叶定律表达式为付里叶定律表达式为傅里叶定律表明傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。7标量形式的付里叶定律表达式为标量形式的付里叶定律表达式为对于各向同性材料对于各向同性材料,各方向上的热导率各方向上的热导率相等相等,由傅里叶定律可知由傅里叶定律可知,要计算导热热流量要计算导热热流量,需要知需要知道材料的热导率道材料的热导率,还必须知道温度场。所以还必须知道温度场。所以,求解温求解温度场是导热分析的主要任务。度场是导热分析的主要任务。8傅里叶定律的适用条件傅里叶定律的适用条件（1）傅里叶定律只适用于各）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关度梯度有关,还与热导率的方向还与热导率的方向性有关性有关,因此热流密度矢量与温因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。度梯度不一定在同一条直线上。（2）傅立叶定律适用于工程技术中的一般稳态和）傅立叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如如大功率、短脉冲大功率、短脉冲脉冲宽度可达脉冲宽度可达10121015S激光瞬态激光瞬态加热等加热等,傅立叶定律不再适用。傅立叶定律不再适用。XYQXQYQNXY93热导率（导热系数）热导率物质导热能力的大小。根据傅里叶定律表热导率物质导热能力的大小。根据傅里叶定律表达式达式,绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。10物质的热导率在数值上具有下述特点物质的热导率在数值上具有下述特点1对于同一种物质对于同一种物质,固态的热导率值最大固态的热导率值最大,气态的气态的热导率值最小；热导率值最小；2一般金属的热导率大于非金属的热导率一般金属的热导率大于非金属的热导率；3导电性能好的金属导电性能好的金属,其导热性能也好其导热性能也好；4纯金属的热导率大于它的合金纯金属的热导率大于它的合金；5对于各向异性物体对于各向异性物体,热导率的数值与方向有关热导率的数值与方向有关；6对于同一种物质对于同一种物质,晶体的热导率要大于非定形态晶体的热导率要大于非定形态物体的热导率物体的热导率。热导率数值的影响因素较多热导率数值的影响因素较多,主要取决于物质的主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态种类、物质结构与物理状态,此外温度、密度、湿度此外温度、密度、湿度等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。的影响尤为重要。11温度对热导率的影响温度对热导率的影响一般地说一般地说,所有物质的热所有物质的热导率都是温度的函数导率都是温度的函数,不同不同物质的热导率随温度的变化物质的热导率随温度的变化规律不同。规律不同。纯金属的热导率随温度的纯金属的热导率随温度的升高而减小。升高而减小。一般合金和非金属的热导一般合金和非金属的热导率随温度的升高而增大。率随温度的升高而增大。大多数液体（水和甘油除大多数液体（水和甘油除外）的热导率随温度的升高外）的热导率随温度的升高而减小。而减小。纯金属的热导率随温度的纯金属的热导率随温度的升高而减小。升高而减小。12在工业和日常生活中常见的温度范围内在工业和日常生活中常见的温度范围内,绝大多数绝大多数材料的热导率可以近似地认为随温度线性变化材料的热导率可以近似地认为随温度线性变化,表示为表示为0为按上式计算的为按上式计算的0下的热下的热导率值，并非热导率的真实值。导率值，并非热导率的真实值。B为由实验确定的常数，其数为由实验确定的常数，其数值与物质的种类有关值与物质的种类有关。多孔材料的热导率多孔材料的热导率绝大多数建筑材料和绝大多数建筑材料和保温材料保温材料（或称（或称绝热材料绝热材料）都）都具有多孔或纤维结构具有多孔或纤维结构如砖、混凝土、石棉、炉渣等如砖、混凝土、石棉、炉渣等,不是均匀介质不是均匀介质,统称统称多孔材料多孔材料。多孔材料的热导率是指它的多孔材料的热导率是指它的表观热导率表观热导率,或称作或称作折折算热导率算热导率。13用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于350时热导率小于时热导率小于012W/MK的材料称为的材料称为保温材料保温材料。保温材料保温材料（或称（或称绝热材料绝热材料）多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈大，热导率愈大。密度和湿度愈大，热导率愈大。典型材料热导率的数值范围典型材料热导率的数值范围纯金属纯金属50415W/MK合金合金12120W/MK非金属固体非金属固体140W/MK液体液体非金属非金属01707W/MK绝热材料绝热材料003012W/MK气体气体0007017W/MK144导热问题的数学描述（数学模型）（1）导热微分方程式的导出）导热微分方程式的导出导热微分方程式导热微分方程式单值性条件单值性条件建立数学模型的目的建立数学模型的目的求解温度场求解温度场依据依据能量守恒和傅里叶定律。能量守恒和傅里叶定律。假设假设1）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成；2）有内热源，强度为）有内热源，强度为，表示单位时间、单位，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为体积内的生成热，单位为W/M3。1）根据物体的形状选择坐标系）根据物体的形状选择坐标系,选取物体中的选取物体中的微元体作为研究对象；微元体作为研究对象；导热数学模型的组成导热数学模型的组成步骤步骤2）根据能量守恒）根据能量守恒,建立微元体的热平衡方程式；建立微元体的热平衡方程式；3）根据傅里叶定律及已知条件）根据傅里叶定律及已知条件,对热平衡方程式对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。15导热过程中微元体的热平衡导热过程中微元体的热平衡单位时间内，净导入微元单位时间内，净导入微元体的热流量体的热流量D与微元体内热与微元体内热源的生成热源的生成热DV之和等于微元之和等于微元体热力学能的增加体热力学能的增加DU,即即DDVDUDDXDYDZDXDXDXDXQXDYDZQXDXDYDZ16同理可得同理可得从从Y和和Z方向净导入微元体的热流量分别为方向净导入微元体的热流量分别为于是于是,在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为单位时间内微元体内热源的生成热单位时间内微元体内热源的生成热单位时间内微元热单位时间内微元热力学能的增加力学能的增加根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式DDVDU可得可得导热微分导热微分方程式方程式17导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。间和空间变化的函数关系。当热导率当热导率为常数时为常数时,导热微分方程式可简化为导热微分方程式可简化为式中式中2是是拉普拉斯算子拉普拉斯算子,在直角坐标系中，在直角坐标系中，或写成或写成称为称为热扩散率热扩散率,也称也称导温系数导温系数,单位为单位为M2/S。其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。木材木材A15107紫紫铜铜A53310518导热微分方程式的简化导热微分方程式的简化1物体无内热源物体无内热源2稳态导热稳态导热3稳态导热、无内热源稳态导热、无内热源2T0，即即19圆柱坐标系下的导热微分方程式圆柱坐标系下的导热微分方程式如果如果为常数为常数20球坐标系下的导热微分方程式球坐标系下的导热微分方程式为常数时，为常数时，21（2）单值性条件单值性条件V导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点的具体特点,适用于无穷多个导热过程适用于无穷多个导热过程,也就是说也就是说有无穷多个解。有无穷多个解。V为完整的描写某个具体的导热过程，必须说明为完整的描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的即给出导热微分方程的单值单值性条件性条件（或称（或称定解条件定解条件），使导热微分方程式具有），使导热微分方程式具有唯一解。唯一解。V导热微分方程式导热微分方程式与与单值性条件单值性条件一起构成具体导一起构成具体导热过程完整的数学描述。热过程完整的数学描述。V单值性条件单值性条件一般包括一般包括几何条件几何条件、物理条件物理条件、时间条件时间条件、边界条件边界条件。221几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的定温度场的空间分布空间分布特点和分析时所采用的坐标系。特点和分析时所采用的坐标系。2物理条件说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数及内热源的分布规律，给出热物性参数、C、A等的数值及其特点等。的数值及其特点等。3时间条件说明导热过程时间上的特点说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）部的温度分布规律（称为初始条件）234边界条件说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用的相互作用,例如例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。边界与周围环境之间的热量交换情况等。常见的边界条件分为以下三类常见的边界条件分为以下三类A第一类边界条件给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律B第二类边界条件给出边界上的热流密度分布及给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律其随时间的变化规律24C第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度的流体的温度TF及表面传热系数及表面传热系数H。用电热片加热物体表面可实现第二类边界条件。用电热片加热物体表面可实现第二类边界条件。如果物体的某一表面是绝热的如果物体的某一表面是绝热的,即即QW0,则则物体内部的等温面或等温线物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。与该绝热表面垂直相交。根据边界面的热平衡，由傅里叶根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得定律和牛顿冷却公式可得第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边对流换热边界条件界条件。25上式描述的第三类边界条件是线性的上式描述的第三类边界条件是线性的,所以也所以也称为称为线性边界条件线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际，反映了导热问题的大部分实际情况。情况。如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热围环境之间的辐射换热,则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为QR为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热流密度，它与物体边界和周围环境的温度和辐射特性流密度，它与物体边界和周围环境的温度和辐射特性有关有关,是温度的复杂函数。这种对流换热与辐射换热是温度的复杂函数。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件是非线性的边界条件。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。26综上所述综上所述,对一个具体导热过程完整的数学描对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热数学模型）应该包括述（即导热数学模型）应该包括建立合理的数学模型建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一是求解导热问题的第一步步,也是最重要的一步。也是最重要的一步。目前应用最广泛的求解导热问题的方法目前应用最广泛的求解导热问题的方法1分分析解法析解法2数值解法数值解法3实验方法实验方法。这也是求解所。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。有传热学问题的三种基本方法。1导热微分方程式导热微分方程式2单值性条件。单值性条件。对数学模型进行求解对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度就可以得到物体的温度场场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。布。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。2792稳态导热稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程下面分别讨论日常生活和工程上常见的下面分别讨论日常生活和工程上常见的平壁平壁、圆圆筒壁筒壁、球壁球壁及及肋壁肋壁的一维稳态导热问题。的一维稳态导热问题。1平壁的稳态导热平壁的稳态导热当平壁的两表面分别维持均匀恒定的当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。温度时，平壁的导热为一维稳态导热。假设假设表面面积为表面面积为A、厚度为厚度为、为为常数、无内热源，两侧表面分别维持均常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度匀恒定的温度TW1、TW2，且，且TW1TW2。（1）单层平壁的稳态导热单层平壁的稳态导热选取坐标轴选取坐标轴X与壁面垂直与壁面垂直,如图所示如图所示。28数学模型数学模型X0,TTW1X,TTW2求解结果求解结果可见，当可见，当为常数时为常数时,平壁内平壁内温度分布曲线为直线，温度分布曲线为直线，其斜率为其斜率为由傅立叶定律可得热流密度由傅立叶定律可得热流密度通过整个平壁的热流量为通过整个平壁的热流量为上式与绪论中给出的公式完全相同。上式与绪论中给出的公式完全相同。29变热导率问题变热导率问题当平壁材料的热导率当平壁材料的热导率是温度的函数时是温度的函数时,平壁一平壁一维稳态导热的数学模型为维稳态导热的数学模型为X0,TTW1X,TTW2当温度变化范围不大时当温度变化范围不大时,可以近似地认为材料的可以近似地认为材料的热导率随温度线性变化热导率随温度线性变化,即即可见可见,当平壁材料的热导率随温度线性变化时当平壁材料的热导率随温度线性变化时,平平壁内的温度分布为二次曲线。壁内的温度分布为二次曲线。求解数学模型可得平壁内的温度分布为求解数学模型可得平壁内的温度分布为30根据傅立叶定律表达式根据傅立叶定律表达式（1）当）当TW1TW2时，热流方向与时，热流方向与X轴同轴同向，向，Q为正值为正值,而热导率数值永远为正而热导率数值永远为正,所以由上式可见所以由上式可见,温度变化率为负值。温度变化率为负值。（2）如果）如果B0,沿沿X方向方向随温度的降低而减小随温度的降低而减小,温度曲温度曲线斜率的绝对值增大线斜率的绝对值增大,曲线向上弯曲（上凸）；曲线向上弯曲（上凸）；（3）如果）如果B0B100时可近似按此处理时可近似按此处理。C0BI100，按一般情况处理。按一般情况处理。593）平壁与周围流体之间交换的热量平壁与周围流体之间交换的热量在在0时间内，微元薄层时间内，微元薄层DX单位面单位面积放出的热量等于其热力学能的变化，积放出的热量等于其热力学能的变化，在在0时间内，单位面积平壁放出的热量时间内，单位面积平壁放出的热量将将FO02时时无量纲过余温度的近似解代无量纲过余温度的近似解代入上式，得入上式，得0XDX0060（3）诺模图诺模图1）612）623）63几点说明几点说明1上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析结果对平壁被加热的情况同样适用；结果对平壁被加热的情况同样适用；2由于平壁温度场是对称的，所以分析时只取半个平由于平壁温度场是对称的，所以分析时只取半个平壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适用于同样条件的平壁；用于同样条件的平壁；3线算图只适用于线算图只适用于FO02的情况的情况4对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析态导热问题，分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，解的形式也是快速，也可以求得温度分布的分析解，解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是收敛的无穷级数，并且是BI、FO和和R/R的函数的函数,645当当FO02时，圆柱和球体的一维非稳态导热过程时，圆柱和球体的一维非稳态导热过程也都进入也都进入正规状况阶段正规状况阶段，分析解可以近似地取无穷级，分析解可以近似地取无穷级数的第一项，近似结果也被绘成了线算图。（数的第一项，近似结果也被绘成了线算图。（P221）2特殊多维非稳态导热问题的简易求解方法1无限长方柱无限长方柱2短圆柱短圆柱3垂直六面体垂直六面体653集总参数法（集总参数法（BI01）当当BI01时，物体内部的导热热阻远小于其表面的时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任对流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任一时刻都近似于均匀，物体的温度只是时间的函数。一时刻都近似于均匀，物体的温度只是时间的函数。对于这种情况，只须求解物体温度随时间的变化规律对于这种情况，只须求解物体温度随时间的变化规律以及物体放出或吸收的热量。以及物体放出或吸收的热量。假设假设一个任意形状的物体，体一个任意形状的物体，体积为积为V，表面面积为表面面积为A，密度密度、比热、比热容容C及热导率及热导率为常数，无内热源，初为常数，无内热源，初始温度为始温度为T0。突然将该物体放入温度突然将该物体放入温度T恒定的流体中，物体表面和流体之恒定的流体中，物体表面和流体之间对流换热的表面传热系数间对流换热的表面传热系数H为常数为常数。假设该问题满足。假设该问题满足BI01的条件。的条件。集总参数法集总参数法忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。66根据能量守恒，单位时间物体热力学能的变化量根据能量守恒，单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量，应该等于物体表面与流体之间的对流换热量，下角标下角标V表示以表示以LV/A为为特征长度特征长度LV/A67几点说明几点说明（1）集总参数法集总参数法中的中的毕渥数毕渥数BIV与与傅里叶数傅里叶数FOV以以LV/A为特征长度，为特征长度，不同于分析解中的不同于分析解中的BI与与FO，无限大平壁无限大平壁无限长圆柱无限长圆柱圆圆球球分析解分析解集总参数法集总参数法（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足BI01，就可以使用集总参数法计算，偏差小于就可以使用集总参数法计算，偏差小于5。68令令，C称为称为时间常数时间常数。当当C时，时，即物体的过余温度达到初始过余温度的即物体的过余温度达到初始过余温度的368。说明，。说明，时间常数时间常数反映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时反映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的温度变化越快。间常数越小，物体的温度变化越快。热电偶的时间常数越小越好，因为越小，热电偶越热电偶的时间常数越小越好，因为越小，热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化。能迅速地反映被测流体的温度变化。影响时间常数大小的主要因素是影响时间常数大小的主要因素是由由可见，可见，物体的热容量物体的热容量CV和物体表面的对流换热条件和物体表面的对流换热条件HA。69在在0时间内物体和周围环境之间交换的热量时间内物体和周围环境之间交换的热量令令，表示物体温度从，表示物体温度从T0变化到周围流体温变化到周围流体温度度T所放出或吸收的总热量，则上式改写为所放出或吸收的总热量，则上式改写为上述分析结果既适用于物体被加热的情况，也适用上述分析结果既适用于物体被加热的情况，也适用于物体被冷却的情况。于物体被冷却的情况。作业作业910，911，9127094导热问题的数值解法基础数值解法的基本思想数值解法的基本思想用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点散点称为称为节点节点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。题转化为节点温度代数方程的求解问题。数值解法的基本内容与步骤数值解法的基本内容与步骤（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型；做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型；（2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和单值性条件；导热微分方程和单值性条件；第第1、2步是导热问题所有求解方法的基础。步是导热问题所有求解方法的基础。71（3）求解域离散化用与坐标轴平行的网络线将求解域离散化用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线的交点作为节点络线的交点作为节点,每个节点就代表以它为中心的每个节点就代表以它为中心的子区域（子区域（控制容积控制容积），节点温度就代表子区域的温度），节点温度就代表子区域的温度；（4）建立节点温度代数方程组；建立节点温度代数方程组；（5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；温度值；（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。目前求解导热问题常用的数值解法主要有目前求解导热问题常用的数值解法主要有有限有限差分法差分法、有限元法有限元法等。其中有限差分法比较成熟，应等。其中有限差分法比较成熟，应用广泛。用广泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。下面主要介绍有限差分法的基本原理。721有限差分法的基本原理以常物性、无内热源的二维稳以常物性、无内热源的二维稳态导热为例态导热为例用用有限差分有限差分近似近似微分微分，用，用有限差商有限差商近似近似微商微商（导数）（导数）例如例如XDX，,进而将导热偏微分方程转化为节进而将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。点温度差分代数方程。1求解域的离散化求解域的离散化1子区域的划分子区域的划分选择网格宽度选择网格宽度X、Y（步长步长），划分子区域。步长大小根据），划分子区域。步长大小根据问题的需要而定。问题的需要而定。2节点的选择节点的选择选择网线和网线及网线与物体边界的交点作为节点选择网线和网线及网线与物体边界的交点作为节点，标定节点位置，如，标定节点位置，如I,J、I1,J等。等。732节点温度差分方程的建立节点温度差分方程的建立两种方法两种方法泰勒级数展开法泰勒级数展开法与与控制容积热平衡法控制容积热平衡法，只介绍控制容积热平衡法。只介绍控制容积热平衡法。控制容积热平衡法控制容积热平衡法根据节点所代表的控制容积在根据节点所代表的控制容积在导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。1内部节点温度差分方程内部节点温度差分方程内部节点内部节点I,J所代表的控制所代表的控制容积在导热过程中的热平衡容积在导热过程中的热平衡对于垂直于纸面方向单位宽度，对于垂直于纸面方向单位宽度，选择选择XY74上式可整理为上式可整理为可见，物体内每一个节点温度都等于相邻可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度个节点温度的算术平均值。的算术平均值。2边界节点温度差分方程边界节点温度差分方程对于具有第三类边界条件的边界对于具有第三类边界条件的边界节点节点I,J所代表的控制容积，根据所代表的控制容积，根据其热平衡其热平衡，选择步长选择步长XY，将上式简化将上式简化75令令称为称为网格毕渥数网格毕渥数。上式可整理为上式可整理为第三类边界条件下的外拐角边界节点第三类边界条件下的外拐角边界节点第三类边界条件下的内拐角边界节点第三类边界条件下的内拐角边界节点762节点温度差分方程组的求解方法绝热边界节点绝热边界节点运用有限差分方法可以建立导热物体运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方所有内部节点和边界节点温度的差分方程。求解这些差分方程构成一个线性代程。求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度的数值。数方程组就可以得节点温度的数值。线性代数方程组的求解方法有线性代数方程组的求解方法有消元法消元法、矩阵求逆法矩阵求逆法、迭代法迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法中的两种用的迭代法中的两种1简单迭代法简单迭代法2高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法771简单迭代法简单迭代法其中其中AIJ、BI为常数，且为常数，且AIJ0。改写为显函数形式改写为显函数形式假设假设782高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法是在简单迭代法的基础上加是在简单迭代法的基础上加以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中是在迭代运算过程中总使用最新算出的数据总使用最新算出的数据。高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法比比简单迭代法简单迭代法收敛速度快收敛速度快。793非稳态导热问题的数值解法非稳态导热数值解法的特点非稳态导热数值解法的特点（1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；单值性条件中增加了初始条件；（2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间除了对空间域进行离散外，还需要对时间进行域离散；进行域离散；（3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化；虑控制容积的热力学能随时间的变化；（4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。温度方程求解的稳定性问题。80以第三类边界条件下常物性、无内热源的无限大以第三类边界条件下常物性、无内热源的无限大平壁的一维非稳态导热问题为例。平壁的一维非稳态导热问题为例。1求解域的离散求解域的离散2节点温度差分方程的建立节点温度差分方程的建立运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和边运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和边界节点温度差分方程。界节点温度差分方程。空间步长为空间步长为X，时间步长时间步长为为,X、大小的选择需大小的选择需要保证节点温度方程求解的要保证节点温度方程求解的稳定性。稳定性。表示空间节点表示空间节点I在在K时时刻（简称刻（简称K时刻）的节点温度。时刻）的节点温度。811内部节点温度差分方程内部节点温度差分方程内部节点内部节点I所代表的控制容积在所代表的控制容积在K时刻的热平衡时刻的热平衡如果节点如果节点I的温度对时间的变化率的温度对时间的变化率采用采用向前差分向前差分，热平衡方程式可写成，热平衡方程式可写成令令网格付里叶数网格付里叶数内部节点温度方程的显式差分格式内部节点温度方程的显式差分格式82两点结论两点结论A任意一个内部节点任意一个内部节点I在在K1时刻的温度都可以由时刻的温度都可以由该节点及其相邻