实对称矩阵的

实对称矩阵的Tag内容描述：<p>1、数学毕业论文-求实对称矩阵特征值问题的分治算法 求实对称矩阵特征值问题的分治算法 摘要：本文介绍了求解对称3对角矩阵特征值问题的分治算法及改进的分治算法.对分治算法,改进的分治算法,Jacobi方法及QR方法进行了比较,讨论了用分治算法或改进的分治算法求实对称矩阵特征值问题。数值例子说明利用分治算法或改进的分治算法求实对称矩阵特征值是非常有效的。关键词：实对称矩阵 ，特征值 ，分治算法 ，Householder变换，QR方法 ，Jacobi方法 ，迭代 Divide-and-Conquer Algorithm for Solving Eigenvalue Problem of Real Symmetric Matri。</p><p>2、4.4实对称矩阵的对角化,4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,4.4.2实对称矩阵的对角化,性质1 实对称矩阵的特征值是实数。,4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。,性质3 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征方程的r重根，则R(E-A)=n-r，从而对应于特征值恰有r个线性无关的特征向量。,性质3说明了,实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量.,定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使,4.4.2实对称矩阵的对角化,解 第一步 求A的特征值由,例4.4.2,即,得。</p><p>3、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、 实对称矩阵特征值的性质,证明：设,是 阶实对称矩阵，,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值，,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则 ，,于是，,(4.11),由于 ，,对最后一式取复数转置，,得到,两边再右乘 ，,得到,所以有,特征值都是实数。,这样， 是实数。,由 的任意性，,实对称矩阵 的,特征向量都是实数向量。,附注：,进一步地有，,实对称矩阵,的属于特征值的,。</p><p>4、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，,定理3.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、 实对称矩阵特征值的性质,证明：设,是 阶实对称矩阵，,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值，,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则 ，,于是，,(3.11),由于 ，,对最后一式取复数转置，,得到,两边再右乘 ，,得到,所以有,特征值都是实数。,这样， 是实数。,由 的任意性，,实对称矩阵 的,特征向量都是实数向量。,附注：,进一步地有，,实对称矩阵,的属于特征值的,。</p><p>5、1,4 实对称矩阵的相似矩阵,一、实对称矩阵的特征值的有关性质,二、求正交矩阵的方法,2,对称阵,此时 A 称为实对称矩阵.,性质1. 实对称阵的特征值全为实数.,一、实对称矩阵的特征值的有关性质,3,性质2.,证明:,4,定理八.,那么,其最大线,性无关组所包含的向量个数恰为k.,推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.,定理九.若A为n阶实对称阵,则总有正交,阵P，使,5,二、求正交矩阵的方法,求正交矩阵的具体步骤为:,6,例.,解: 第一步: 求出A的所有特征值.,A的特征多项式:,故特征值为:,7,第二步:,求出A的特征向量.,取同解方程组:,8,9,基础解系:,取同解方程。</p><p>6、Chapter 4(4),实对称矩阵的对角化,教学要求：,掌握实对称矩阵的性质;,2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法.,1.实对称矩阵的特征值为实数.,Proof.,2.实对称矩阵的特征向量为实向量.,3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.,Proof.,于是,4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.,定理.,利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,Proof.,故存在正交矩阵Q使,Proof.,又由A为实对称矩阵,。</p><p>7、4.3 实对称矩阵的 对角化,一、内积的定义与性质,定义：,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,如：,性质：,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,概念：,二、向量的长度与夹角：,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别：,长度为的向量称为单位向量.,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,性质：,定理：（Cauchy不等式）,任意两个n维实向量,恒有,等号成立当且仅当,线性相关.,三、正交向量组及其求法：,正交：,注。</p><p>8、定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.,一、实对称矩阵的性质,4.3 实对称矩阵的对角化,证明,于是有,及,相减,定理1的意义,当特征值 i 为实数时 齐次线性方程组 (Ai I)x0 是实系数方程组 由|Ai I|0知必有实的基础解系 所以对 应的特征向量可以取实向量,证明,设A为实对称矩阵, Ap11 p1 Ap22 p2 12,一方面,于是,(12) p1Tp20,但 12,即p1与p2正交,故 p1Tp20,定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交.,另一方面,推论 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根则对应特征值恰有k个线性无关的特征向量,二、实对称矩阵的对角化,求正交矩阵 ，。</p><p>9、四. 实对称矩阵的对角化,实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,更可找到正交矩阵 ，使得,定理1：实对称矩阵的特征值为实数.,证：设 是 的任一特征值，（往证 ）,是对应于 的特征向量，,则,设,用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量。,则,又 是实对称矩阵， 且,由(1)(2)有,等号两边同时左乘,左边,右边,即,考虑,即 为实数。,定理2：实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。,是依次与之对应的特征向量。,证：设 是对称矩阵 的两个特征值，且,则,于是,为实对称矩阵，,考虑,即 正交。,定理3： 为 。</p><p>10、2 标准正交基,3 同构,4 正交变换,1 定义与基本性质,6 对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7 向量到子空间的 距离最小二乘法,小结与习题,第九章 欧氏空间,5 子空间,9.6 对称矩阵的标准形,一、实对称矩阵的一些性质,二、对称变换,三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵,四、实二次型的主轴问题,一、实对称矩阵的一些性质,引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数,证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量,满足,其中 为 的共轭复数，,令,又由A实对称，有,由于 是非零复向量，必有,故,考察等式，,引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上,。</p><p>11、实对称矩阵的相似对角化,一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。,（1）两端取转置，得：,性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。,对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。,性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。,由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。,二、实对称矩阵的相似对角化：,定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。,定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。,再单位化，得：,三、矩阵的合同,.,合同矩阵具有。</p><p>12、中南财经政法大学信息系,第四节 对称矩阵的相似矩阵,第五章 矩阵的特征值 与特征向量,定理1 对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,定理5.9,它们的重数依次为,根据上述定理可得：,定理,定理5.10,由于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角。</p>