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文档简介
四. 实对称矩阵的对角化,实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,更可找到正交矩阵 ,使得,定理1:实对称矩阵的特征值为实数.,证:设 是 的任一特征值,(往证 ),是对应于 的特征向量,,则,设,用 表示 的共轭复数, 表示 的共轭复向量。,则,又 是实对称矩阵, 且,由(1)(2)有,等号两边同时左乘,左边,右边,即,考虑,即 为实数。,定理2:实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。,是依次与之对应的特征向量。,证:设 是对称矩阵 的两个特征值,且,则,于是,为实对称矩阵,,考虑,即 正交。,定理3: 为 阶实对称矩阵, 是 的 重特征值,,即 的基础解系所含向量个数为,则对应于 的特征向量中,线性无关的向量的个数为,(则 ),知道结论即可,定理4:(实对称矩阵必可对角化),对于任一 阶实对称矩阵 ,,一定存在 阶正交矩阵 使得,其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。,证:设实对称阵 的互不相等的特征值为,它们的重数依次为,则,由定理,特征值 (重数为 )对应的线性无关的 特征向量为 个。,把它们正交化,再单位化,即得 个单位正交的特征向量。,所以,可得这样的单位正交向量 个。,又 是实对称阵,,上面得到的 个单位特征向量两两正交。,以它们为列向量构成正交矩阵 ,有,不同特征值对应的特征向量正交,,其中 的对角元素含有 个,个,个,恰是 的 个特征值。,求正交矩阵 ,把实对称矩阵 化为对角阵的方法:,1. 解特征方程,求出对称阵 的全部不同的特征值。,3. 将属于每个 的特征向量先正交化,再单位化。,2. 对每个特征值 ,求出对应的特征向量,,这样共可得到 个两两正交的单位特征向量,4. 以 为列向量构成正交矩阵,有,即,必须注意:对角阵中 的顺序,要与特征向量 的排列顺序一致。,解:,当 时,齐次线性方程组为,得基础解系,令,再单位化:令,当 时,齐次线性方程组为,单位化得,得正交矩阵,有,例2:设,求正交矩阵 ,,使得 为对角阵。,解:,当 时,由,只需把 单位化
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