2024年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷一.选择题。1．（3分）下列各数中，最小的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．32．（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（）A． B． C． D．3．（3分）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则tan∠CAB的值为（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a6÷a3＝a25．（3分）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°（）A．60° B．40° C．30° D．20°6．（3分）如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°（）A． B． C． D．（﹣2﹣，）7．（3分）在正数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝﹣18．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于D，连接OD，则图中阴影部分面积为（）A．16π﹣32 B．8π﹣16 C．4π﹣8 D．4π﹣49．（3分）若点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a10．（3分）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片（）A． B． C． D．二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）因式分解：x2﹣4＝．12．（3分）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．从袋中随机取出一个球是黄球的概率为0.4，若袋中有12个白球个．13．（3分）如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝．14．（3分）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，连接DE，将△BDE沿DE折叠1.若点B1刚好落在边AC上，且∠CB1E＝30°，CE＝m，则BC的长为.（用含m的代数式表示）16．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧1＜y2，则n的取值范围是．三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（6分）计算：（1）；（2）（x+2）2﹣x（x+4）．18．（6分）先阅读下列解题过程，再回答问题．解方程：解：两边同乘x2﹣4得：3﹣（x+2）＝﹣6（x﹣2）①去括号得：3﹣x﹣2＝﹣6x+12②移项得：﹣x+6x＝12﹣3+2③解得：④（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是．（2）请给出正确的解答过程．19．（8分）某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1．请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表组别月零花钱消费额/元A10≤x＜100B100≤x＜200C200≤x＜300D300≤x＜400Ex≥400（1）本次调查样本的容量是；（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；（3）若该学校有2500名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．20．（8分）如图，已知AE＝CF，AE∥CF（1）求证：△AED≌△CFB；（2）连结AB，CD，那么AB21．（10分）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，接下来，不断有新的同学进入食堂排队（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）（分钟）的关系如图所示，（1）求a的值．（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？22．（10分）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）．（1）若m＝1，求a的值．（2）若m＞n＞0，求p的取值范围．（3）求证：am+an＞0．23．（12分）综合与实践【问题情境】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，AP＝PD．【性质初探】如图1，当．∠B＝∠C＝90°时，猜想AB，BC三条线段存在的数量关系并证明．【类比再探】如图2，延长BA，CD交于点E，∠B＝30°时，求的值．【问题解决】如图2，延长BA，CD交于点E，∠B＝α时，用含α的代数式表示24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，CM，延长CM交⊙O于点D．（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．（2）求∠AMB的度数．（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．

2024年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题。1．（3分）下列各数中，最小的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵﹣1＜0＜7＜3，∴最小的数是﹣1，故选：A．2．（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．球的主视图是圆；B．圆锥的主视图是等腰三角形；C．圆柱的主视图的矩形；D．三棱柱的主视图的矩形（矩形内部有一条纵向的虚线）．故选：B．3．（3分）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则tan∠CAB的值为（）A． B． C． D．【解答】解：由题图知，△ABC为直角三角形，BC＝3，AC＝4．∴tan∠CAB＝＝．故选：C．4．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a6÷a3＝a2【解答】解：A、与不是同类项，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、（﹣4a）3＝﹣8a2，故此选项符合题意；D、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意；故选：C．5．（3分）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°（）A．60° B．40° C．30° D．20°【解答】解：如图：延长FG交CD于点E，∵∠FGH是△EGH的一个外角，∴∠FGH＝∠2+∠3＝60°，∵AB∥CD，∴∠6＝∠3，∴∠2+∠8＝60°，∵∠1＝40°，∴∠2＝60°﹣40°＝20°，故选：D．6．（3分）如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°（）A． B． C． D．（﹣2﹣，）【解答】解：作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴CB＝OC＝OA＝2，CB∥OA，∴∠BCE＝∠AOC＝45°，∴∠CBE＝∠BCE＝45°，∴BE＝CE，∵CB＝＝＝CE＝2，∴BE＝CE＝，∴OE＝OC+CE＝4+，∴B（﹣2﹣，），故选：D．7．（3分）在正数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝﹣1【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab，∴方程x※（x+2）＝﹣1变形为3[x+（x+5）]﹣5x（x+1）＝﹣3，定义新运算∴5x2﹣x﹣2＝0，∴（5x+8）（x﹣1）＝0，∴6x+4＝0，x﹣8＝0，∴x＝﹣（舍去）或x＝1．故选：B．8．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于D，连接OD，则图中阴影部分面积为（）A．16π﹣32 B．8π﹣16 C．4π﹣8 D．4π﹣4【解答】解：∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∴BC＝＝，∠ABC＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝＝，∵OA＝OB＝，∴OD⊥AB，即∠AOD＝90°，∴图中阴影部分面积为：﹣＝4π﹣＝6π﹣8．故选：C．9．（3分）若点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：∵k2+1＞7，∴反比例为实数）的图象在一、三，∵点A（﹣8，a），b），c）都在反比例，∴点A（﹣4，a）在第三象限，b），c）在第一象限，∵﹣4＜0＜4＜3，∴a＜0，b＞c＞5，∴a＜c＜b．故选：B．10．（3分）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵S，∴CH＝，∵四边形FDEG是正方形，∴FG∥DE，FD∥EG，设FG＝GE＝x，CG＝y，∴＝①，∵GE∥CH，∴，∴②，联立①②可得，x＝，如图，设DE＝DC＝x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，∴，解得x＝，∵，即面积最大的正方形不锈钢片的边长为，故选：C．二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+3）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣7）．12．（3分）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．从袋中随机取出一个球是黄球的概率为0.4，若袋中有12个白球8个．【解答】解：布袋中黄球可能有x个，根据题意得：＝0.4，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，答：布袋中黄球可能有8个．故答案为：3．13．（3分）如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝10．【解答】解：过O作OH⊥CD于H，∴CH＝CD＝，∵AB∥CD，∴OH⊥AB，∴OH＝3，∴OC＝＝5，∴AB＝6OC＝10．故答案为：10．14．（3分）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为50+18x＞80+12x．【解答】解：由题意可得：50+18x＞80+12x．故答案为：50+18x＞80+12x．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，连接DE，将△BDE沿DE折叠1.若点B1刚好落在边AC上，且∠CB1E＝30°，CE＝m，则BC的长为3m.（用含m的代数式表示）【解答】解：∵在Rt△CEB1中，∠C＝90°1E＝30°，∴B3E＝2CE＝2m，又∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B5，点B1刚好落在边AC上，∴BE＝B1E＝3m，则BC＝CE+BE＝m+2m＝3m．故答案为：2m．16．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧1＜y2，则n的取值范围是﹣1＜n＜2．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，∵a＞2，∴抛物线开口向上，∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝2的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，不等式组无解；若点B在对称轴x＝8的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，解得：﹣2＜n＜2，∴n的取值范围为：﹣1＜n＜2．故答案为：﹣1＜n＜2．三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（6分）计算：（1）；（2）（x+2）2﹣x（x+4）．【解答】解：（1）原式＝﹣＝0；（2）原式＝x6+4x+4﹣x2﹣4x＝4．18．（6分）先阅读下列解题过程，再回答问题．解方程：解：两边同乘x2﹣4得：3﹣（x+2）＝﹣6（x﹣2）①去括号得：3﹣x﹣2＝﹣6x+12②移项得：﹣x+6x＝12﹣3+2③解得：④（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是①．（2）请给出正确的解答过程．【解答】解：（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是①，故答案为：①；（2），两边同乘x2﹣2得：3+（x+2）＝﹣7（x﹣2），去括号得：3+x+2＝﹣6x+12，移项得：x+6x＝12﹣2﹣2③合并同类项得：7x＝6，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x4﹣4≠0，所以分式方程的解是x＝5．19．（8分）某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1．请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表组别月零花钱消费额/元A10≤x＜100B100≤x＜200C200≤x＜300D300≤x＜400Ex≥400（1）本次调查样本的容量是100；（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；（3）若该学校有2500名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．【解答】解：（1）本次调查样本的容量是40÷40%＝100，故答案为：100；（2）如图所示（3）估计月消费零花钱不少于300元的学生数为2500×＝750（人）．20．（8分）如图，已知AE＝CF，AE∥CF（1）求证：△AED≌△CFB；（2）连结AB，CD，那么AB【解答】（1）证明：∵BE＝DF，∴DE＝BF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AED＝∠CFB，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS）；（2）解：结论：AB＝CD．理由：连接AB，CD．∵△AED≌△CFB，∴AD＝CB，∠ADB＝∠CBF，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．21．（10分）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，接下来，不断有新的同学进入食堂排队（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）（分钟）的关系如图所示，（1）求a的值．（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？【解答】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320，解得a＝4，∴a的值是8．（2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k，且k≠0）．将坐标B（8，320）和C（10，得，解得，∴y＝﹣x+．当x＝7时，y＝﹣＝160，∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人；（3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+5×40，所以至少需同时开放7个售票窗口．22．（10分）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）．（1）若m＝1，求a的值．（2）若m＞n＞0，求p的取值范围．（3）求证：am+an＞0．【解答】（1）解：当m＝1时，点（4，8），将（4，1）代入抛物线表达式得：4＝a（4﹣1）（8﹣3），解得：a＝；（2）解：由题意得：m＝a（4﹣1）（3﹣3）＝3a，同理可得：n＝a（p4﹣4p+3），若m＞n＞7，即3a＞a（p2﹣4p+3）＞0，当a＞7时，即3＞（p2﹣8p+3）＞0，解得：6＜p＜1或3＜p＜5；当a＜0时，则3＜（p4﹣4p+3）＜5，不等式无解；故0＜p＜1或6＜p＜4；（3）证明：由（2）得：am+an＝a（3a+ap7﹣4ap+3a）＝a8（p﹣2）2+6a2＞0．23．（12分）综合与实践【问题情境】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，AP＝PD．【性质初探】如图1，当．∠B＝∠C＝90°时，猜想AB，BC三条线段存在的数量关系并证明．【类比再探】如图2，延长BA，CD交于点E，∠B＝30°时，求的值．【问题解决】如图2，延长BA，CD交于点E，∠B＝α时，用含α的代数式表示【解答】【性质初探】AB，CD．证明：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠DPC．在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AB＝PC，BP＝CD．∵BC＝BP+PC，∴BC＝AB+CD．【类比再探】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，∵AB⊥CD，∴∠E＝90°，∵∠B＝30°，∴∠C＝60°，∴∠GDC＝30°．∵AF⊥BC，DG⊥BC，AP＝PD，∴由【性质初探】可知：△AFP≌△PGD，∴AF＝PG，PF＝DG．在Rt△ABF中，∵∠B＝30°，∴AF＝ABAB．在Rt△DGC中，∵∠GDC＝30°，∴CG＝CDCD．∴PF＝DG＝CDAB．∴BC＝BF+FP+PG+GC＝AB+AB+）（AB+CD），∴＝＝8．【问题解决】解：过点A作