初中数学人教九年级上册（2023年新编）第二十二章 二次函数二次函数第一次导学案

1、 二次函数yax2bxc的图象与性质第一课时（张明远）祥案一、教学目标（一）学习目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性及最大或最小值.3经历探索二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2bxc的性质.4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.（二）学习重点用描点法画出二次函数yax2bxc的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。（三）学习难点理解二次函数yax2bxc(a0)的图象

2、和性质，会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h，当a0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；当a0时，函数y有最小值，当a0时，函数y有最大值.2.预习自测（1）抛物线y2x22x1的开口_，对称轴是_.【知识点】二次函数的性质【解题过程】解：抛物线y2x22x1，20，开口向上，对称轴为：【思路点拨】掌握二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键【答案】向上，（2）抛物线yx22x2的顶点坐标是_.【知识点】二

3、次函数的性质【解题过程】解：将yx22x2配方得，顶点坐标是（1，1）.【思路点拨】将抛物线的一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标【答案】（1，1）（3）二次函数yx22x1的最_值是_.【知识点】二次函数的最值【解题过程】解：将yx22x1配方得，0，其最小值是-1.【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值【答案】小，-1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： 4acb2； a+cb； 2a+b0其中正确的有（） ABCD【知识点】二次函数图象与系数的关系【思路点拨】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断正确，根据x=1，y

4、0，即可判断错误，根据对称轴x1，即可判断正确，由此可以作出判断【解题过程】解：抛物线与x轴有两个交点，0，b24ac0，4acb2，故正确，x=1时，y0，ab+c0，a+cb，故错误，对称轴x1，a0，1，b2a，2a+b0，故正确故选B【答案】B (二)课堂设计1.知识回顾（1）二次函数的图象性质：开口方向向上向下对称轴顶点坐标增减性当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小最值当时，当时，（2）抛物线的平移规律：（h）左加右减，(k)上加下减抛物线抛物线当h0时，向“右”平移h个单位当h 0时，向“左”平移个单位当k0时，向“上

5、”平移k个单位当k 0时，向“下”平移个单位抛物线左右平移上下平移2.问题探究 探究一 从旧知识过渡到新知识 活动 复习配方填空：（1） ； （2） .生答：（1）2，5； （2），总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方【设计意图】复习配方，为新课作准备活动 以旧引新 1二次函数ya(xh)2k的图象，可以由函数yax2的图象先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到生答：左或右，上或下，2二次函数ya(xh)2k的图象的开口方向_，对称轴是_，顶点坐标是_生答：a0，向上；a4时，y随x的增大而增大；当x4时，y随x的增大而减小当x4时，函数y取最小值2.思考、讨论下

6、列问题：1.对于任意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？2.观察二次函数yax2bxc(a0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？4.你能归纳总结二次函数yax2bxc(a0)的图象和性质吗？在学生讨论的基础上，归纳如下：二次函数yax2bxc的图象与性质，如下表：函数二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）图像a0a0性质 = 1 * GB2 * MERGEFORMAT 当a0时，抛物线开口向上，并且向上无

7、限延伸. = 2 * GB2 * MERGEFORMAT 对称轴是直线，顶点坐标为. = 3 * GB2 * MERGEFORMAT 在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而增大.简记为“左减右增” = 4 * GB2 * MERGEFORMAT 抛物线有最低点，当时，y有最小值，y最小值=. = 1 * GB2 * MERGEFORMAT 当a0时，抛物线开口向上，并且向下无限延伸. = 2 * GB2 * MERGEFORMAT 对称轴是直线，顶点坐标为. = 3 * GB2 * MERGEFORMAT 在对称轴的左侧，即相当于时，y随x的

8、增大而增大；在对称轴的右侧，即相当于时，y随x的增大而减小.简记为“左增右减” = 4 * GB2 * MERGEFORMAT 抛物线有最高点，当时，y有最大值，y最大值=【设计意图】充分发挥学生的主体作用，引导学生总结二次函数的图象性质。探究四 二次函数的图象及性质的应用 活动 基础性例题例1：把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y2x5x3.【知识点】二次函数的顶点式【解题过程】解法一：用配方法：解法二：用公式法： 【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是代入公式法【答案】练习：若二次函数yx2bx5配方后为y(x2)2k，则b，k的值分别为( )A0，5 B0，1

9、C4，5 D4，1【知识点】二次函数的顶点式【解题过程】解：y(x2)2k=x2-4x+4+k，b=-4，4+k=5，k=1,故选D【思路点拨】将配方后为的函数式展开后与原函数式对照求解。【答案】D例2.已知：抛物线y2x4x6.（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x 的增大而增大？【知识点】二次函数的图象与性质【解题过程】解：(1)开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，8) (2)令y0，得2x4x60，解得x1，x3, 所以与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0) 令x0，得y6，所以与y轴的交点

10、坐标为(0，6) (3)当x1时，y随x 的增大而增大【思路点拨】(2)和以前学的一次函数一样，求图象与x轴的交点坐标令 y0，求图象与y轴的交点坐标令x0，解方程即可. 【答案】 (1)向上，直线x1，(1，8)；(2)(1，0)，(3，0)；(0，6)(3)x1练习：若点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x22x1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“”、“”、“=”）【知识点】二次函数的增减性【解题过程】解：二次函数y=x22x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x22x+1的图象上两点，1

11、23，y1y2.故填：.【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.【答案】【设计意图】让学生熟悉配方法和二次函数性质.活动2 提升型例题例3.已知0 x，那么函数y=2x2+8x6的最大值是（） C. D.6【知识点】二次函数的最值【解题过程】解：y=2x2+8x6=2（x2）2+2该抛物线的对称轴是x=2，且在x2上y随x的增大而增大又0 x，当x=时，y取最大值，y最大=2（2）2+2=故选：C【思路点拨】确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个

12、范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值【答案】C练习：抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：2101204664从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是；在对称轴左侧，随增大而增大【知识点】二次函数的性质，解方程组。【解题过程】解法一：把表中任三点代入，求得，抛物线函数关系式为。据此即可作出判断：（3,0）代入成立，选项正确；函数的最大值为，选项错误；抛物线的对称轴是，选项正确；，所以在对称轴左侧，随增大而增大，选项正确。故正确的是。解法二：根据表格中的数据，抛物线的对称性，观察

13、抛物线的对称轴是，选项正确；抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），抛物线与轴的一个交点为（3,0），选项正确；抛物线过（0，6）、（1，6）两点，函数的最大值不可能为6，选项错误；观察表格知，在对称轴左侧，随增大而增大，选项正确。故正确的是。【思路点拨】题中给出表格，可根据所给数据，求出函数解析式，再据此即可作出判断；也可根据表格中的数据，抛物线的对称性，以及二次函数的图象性质，进行判断。【答案】。例4.将抛物线yaxbxc向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线yx2x3，求a，b，c的值【知识点】抛物线的平移【数学思想】逆向思维【解题过程】解：yx2x3(x1)2，把抛物线

14、y(x1)2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线y(x4)4.axbxc(x4)4x8x20，a1，b8，c20.【思路点拨】此题应用了逆向思维由抛物线yaxbxc变到抛物线yx2x3，不易求a，b，c的值；但反过来由抛物线yx2x3平移成抛物线yaxbxc就可轻松求解【答案】a1，b8，c20.练习：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）A B C D【知识点】抛物线的平移【解题过程】解：将抛物线化为顶点式为：，左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为 故选D【思路点拨】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移【

15、答案】D【设计意图】让学生进一步掌握二次函数图象性质以及抛物线的平移规律活动3 探究型例题例5.如图所示，二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值；（2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使SABD=SABC，求点D的坐标【知识点】二次函数的图象性质，解一元二次方程，三角形面积【数学思想】数形结合，方程思想。【解题过程】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得32+23+m=0解得，m=3（2）二次函数解析式为y=x2+2x+3，令y=0，得x2+2x+3=0解得x=3或x=1点

16、B的坐标为（1，0）（3）SABD=SABC，点D在第一象限，点C、D关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，3）【思路点拨】解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，底相同且面积相等的两个三角形高相等。【答案】（1）m=3；（2）（1，0）；（3）（2，3）练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y 轴对称钢缆的最低点到桥面的距离是少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？【知识点】二次函数的图象性质【解题过程】解：（1） （2）【思路点拨】（1）将二次函数解析式配

17、方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;（2）由左右两条抛物线关于y 轴对称，得出另一条抛物线解析式，可知它们的顶点坐标，从而求得两条钢缆最低点之间的距离。【答案】(1)1m；（2）40m.【设计意图】综合运用二次函数的图象性质解题。3. 课堂总结知识梳理二次函数yax2bxc的图象与性质函数开口方向向上向下顶点坐标对称轴直线增减性当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；最值当时，有最小值，为当时，有最大值，为重难点归纳1.在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.2.抛物线y=ax2+bx+c是以直线为对称轴的轴对称图形，有以下性质：(1)抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。(2)如果抛物线交x轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。(3)若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为，则抛物线的对称轴是直线。3.直接运用公式确定对称轴和顶点坐标时，不能忽视a，b，c的值的符号。4.一般式的