高等数学教学课件汇编

1、10.1 第一类曲线积分 第十章 牛牛文库文档分享一、第一类曲线积分的定义与性质假设曲线形细长构件在xoy平面内所占弧段为AB , 其线密度为为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量采用微元法解决：线密度为常数时，质量分割近似 牛牛文库文档分享求和取极限近似值精确值 牛牛文库文档分享2.定义 牛牛文库文档分享被积函数积分弧段积分和式如果 L 是闭曲线 , 则记为 牛牛文库文档分享推广曲线形构件的质量 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享3. 存在条件： 牛牛文库文档分享4.性质 ( s 为曲线弧 L 的长度) 牛牛文库文档分享（5） 若与都存在，且在 L 上则(6 )

2、若存在，L 的弧长为 s , 则存在，使得 牛牛文库文档分享(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长复习： 平面曲线的弧长 牛牛文库文档分享(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长 牛牛文库文档分享(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) : 牛牛文库文档分享二、第一类曲线积分的计算定理基本思路:计算定积分转 化求曲线积分 牛牛文库文档分享证:根据定义 点设各分点对应参数为对应参数为 牛牛文库文档分享则因此 牛牛文库文档分享说明:因此积分限必须满足(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 牛牛文库文档分享一

3、代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元定限：定积分限，下限小参数，上限大参数 牛牛文库文档分享如果曲线 L 的方程为则有(3）如果曲线 L 的方程为 牛牛文库文档分享推广: 设空间曲线弧的参数方程为则如果方程为极坐标形式:则 牛牛文库文档分享例1 计算 其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解上点 O (0,0) 牛牛文库文档分享例2. 计算L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO.解： ds=dxOA: y=0, 0 x1O2AByx1 牛牛文库文档分享AB: y=22x, 0 x1BO: x=0, 0y2

4、ds=dy=2O2AByx1 牛牛文库文档分享25例3 计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界解如图L1 L1L2 L2L3L3L=L1+L2+L3 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享关于对弧长的曲线积分的对称性若 L 关于 y 轴对称其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 牛牛文库文档分享若L关于 x 轴对称其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段 牛牛文库文档分享若 L 关于直线 y = x 对称与二重积分的对称性十分类似 牛牛文库文档分享例4 . 已知椭圆周长为a , 求原式 =解: 利用对称性 牛牛文库文档分享例5. 计算其中L为双纽线解: 在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性 , 得 牛牛文库文档分享例6. 计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 由对称性可知解: 由于 L在平面 x+y+z=0上， 故 牛牛文库文档分享例7 . 设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1) 求它关于 z 轴