圆中辅助线添法法口诀与应用

1、初中数学圆中辅助线添法探究一、圆的辅助线口诀 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点： 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。二：

2、圆中常见辅助线的添加1、 遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用： 利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关 系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根 据勾股定理求有关量。 （2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2、 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的

3、性质，可得到直径。 4、 遇到有切线时 （1） 常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直） 作用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时 （1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： （1） 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； （2） 内心到三角形三条边的距离相等 7、遇到三角形的外接圆时， 连结外

4、心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.三、添加辅助线应用举例1、有弦

5、，可作弦心距例1 如图, O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分APD。证明：作OMAB于E，ONCD于FAB=CDOE=OFPO平分APD例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的同旁.过O作OEAB于E，交CD于F，则AE=AB=3.连结OA、OC.ABCD,OECD于F，则EF是平行弦AB、CD间的距离.在RtOEA中，由OA=5,AE=3得OE=4.同理可得OF=3.EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的两

6、旁.过O点作OEAB于E，延长EO交CD于F.连结OA、OC.ABCD，则EOCD于F.EF是平行弦AB、CD间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题. 2、有直径，可作直径所对的圆周角 例3 已知:在RtABC中ABC=90,以AB为直径作O交AC于D，DE切O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.AB是O的直径,ADB=90，BDC为Rt.又ABC=90，AB是O的直径，BC切O于点B.又DE切O于D,BE=DE，则BDE=DBE.1+BDE

7、=90，C+DBE=90 ,1=C，DE=EC.BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.3、当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦 例4 已知:在RtABC中,C=90,BC是O的直径，AB交O于D，DE切O于D，交AC于E. 求证：OEBA.证明:连结OD.DE切O于D,EDO=90 .又C=90 ，OC=OD, OE=OE,RtECORtEDO.1=2= COD.又B= COD,1=B.OEBA.例5 已知:如图点O为AOB角平分线上一点,以O为圆心作O与OA相切于点E. 求证:O与OB相切.证明:过点O作OFOB于F，连结OE.OA切O于点E,OEOA

8、于点E;OE为O的半径.又点O为AOB角平分线上的点,OE=OF.O与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.4、圆的切线的两种常用方法（1） 如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径例6 如图，AO是ABC的中线，O与AB边相切于点D （1）要使O与AC边也相切，应增加条件_（任写一个）（2）增加条件后，请你证明O与AC边相切 解:（1）答案不唯一，可以是B=C，AB=AC，BAO=CAO，AOBC等（2）增加

9、条件B=C后，O与AC边相切证明：:连接OD，作OEAC，垂足为EO与AB相切于点D，BDO=CEO=90AO是ABC的中线，OB=OC又B=C， BDOCEO，OE=ODOD是O的半径， OE是O的半径O与AC边相切 （2）已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆例7 已知AB为O的直径，过点B作O的切线BC，连接OC，弦ADOC求证：CD是O的切线 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明CD是O的切线，只要证明ODC90即可证明：连接ODBC是O的切线OBC=90 ADOCA=BOC，ODA=D

10、OCOA=ODA=ODADOC=BOCOD=OB，OC=OCOCDOCBODC=OBC=90CD是O的切线例8 如图，B、C是O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切线吗？为什么？解：AC是O的切线理由：连接OCOC=OBOCB=BCOD是BOC的外角COD=OCB+B=2BACD=2BACD=CODCDAB于DDCO+COD=90DCO+ACD=90即OCACC为O上的点AC是O的切线例9 已知是ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB求证：DE是O的切线解：DE与O的位置关系式

11、相切理由是：连接OC，AECD，CFAB，CE=CF，EAC=CAF，OA=OC，CAF=OCA，OCA=EAC，OCAE，AEDE，OCDE，OC为O半径，DE是O的切线，即DE与O的位置关系式相切5 当两圆相切，可作公切线或连心线例10 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点. 求证:APD+BPC=180. 证明:过切点P作两圆的公切线MN. 则BPM=A，CPM=D. APD+A+D=180, APD+BPM+CPM=180. BPM+CPM=BPC, APD+BPC=180.例11 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:APB=CPD.证明

12、:过点P作公切线TP.则APT=D ,BPT=BCP.APB=BPT-APT,CPD=BCP-D,APB=CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、当两圆相交，可作公共弦或连心线。例12 已知:O1与O2相交于A、B两点,E为O1上的一点,EF切O1于点E,EA、EB的延长线交O2于C、D两点.求证:EFCD.证明:连结AB，则1=2.四边形ABDC是O2的内接四边形,2=D.1=D.EFCD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.例13 已知：如图，O1与O2相交于A、B两点，过A的直线交O1于C，交O2于D，过B的直线交O1于E，交O2于F，且CDEF求

13、证：CE=DF证明：连接ABCAB=F，CDEFC+E=180CAB+E=180C=CAB=FF+E=180四边形CDFE是平行四边形；CE=DF 综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线。 圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一，与圆有关的问题，汇集了初中几何的各种图形概念和性质，其知识面广，综合性强，随着新课程的实施，园的考察主要以填空题，选择题的形式出现，不会有比较繁杂的证明题，取而代之的是简单的计算。圆中常见的辅助线有：1、作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2、涉及弦的问题时，常作垂直于弦的直径（弦心距），利用垂径定理进行计算和推理；3、作半径和弦心距，构造直角三角形利用勾股定理进行计算；4、作直径构造直径所对的圆周角；5、构造同弧或等弧所对的圆周角；6、遇到三角形的外心时，常连接外心与三角形的各个顶点