因式分解掌握方法与技巧

1、因式分解一、因式分解的技巧： 1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。 2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。 （1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式a2b2（ab）（ab）。 （2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。 （3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。 a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。 b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。 3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）

2、项后再分解。二. 因式分解的方法：（一）提公因式法 方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1. 分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。 解：（二）应用公式法 方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。 例2. 分析：此多项式可看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。 解： 例3. 分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。 解：（三）分组分解法 方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法

3、和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路： 1. 按公因式分组： 例4. 分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。 解： 2. 按系数特点分组： 例5. 分析：由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。 解： 3. 按字母次数特点分组： 例6. 分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。 解： 4. 按公式特点分组： 例7. 分

4、析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。 解： 5. 拆项分组： 例8. 分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-41，再适当分组，达到因式分解的目的。 解： 6. 添项分组： 例9. 分析： 解： 7. 换元分组： 例10. 分析：观察代数式中的xy，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。 解：，则 8. 按主元分组： 例11. 分析：题中的多项式是关于x的三项式排列的，按其结构分解有一定的难度，可考虑换个角度，选定a为主元，即整理为关于a的多项式。 解： （四）利用特殊值法 方法介绍：比如说将2或10这些特殊值代入字母，比如说x，求出一个数P，

5、然后将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即可得因式分解的式子。 例12. 解：令x2，则 将105分解成3个质因数的积，即105357 观察到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x1，x3，x5，在x2时的值，则原式（x1）（x3）（x5）（五）待定系数法 方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例13. 分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解： 利用恒等式的性质可得： （六）十字相乘法： 方法介绍：对于mx2pxq形式的多项

6、式，如果abm，cdq且acbdp，则多项式可因式分解为：（axd）（bxc）。 例14. 分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式： 解：（七）双十字相乘法： 方法介绍：可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起，先分解因式后，然后再与剩下的项再用十字相乘法。 例15. 分析：可先将其先去括号后的项6a211ab3b2应用十字相乘法可分为（2a3b）（3ab）。 解： （八）巧用换元法： 方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。 1. 取相同部分换元 例16. 分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m

7、25m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。 解： 2. 取部分式子换元 例17. 分析：观察题目特点，可考虑设1xx2y。 解： 3. 取倒数换元 例18. 解： 以上我介绍了八种方法，除了这些方法外，还有求根法、图像法、配方法等，因为这些知识将在九年级的学习中将会学到，所以以后将继续介绍这些方法。三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、7、 8、9 、 10、(1)(xp)2(xq)2； ( 2)16(ab)29(ab)2； (3)x26x9； (4)16x224x9； (5)25x410x21； (6)4(xp)212(xp)(xq)9(xq)2；1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.