新课标理科数学第七章第五节直线、平面垂直的判定及其性质.ppt

1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质,1直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面内的_直线都垂直，则直线l与平面垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直 (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_,任意一条,相交,平行,2二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 3平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(2)判定定理：一个

2、平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_的直线与另一个平面垂直 4直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在_所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为_,垂线,垂直于交线,平面上的射影,90和0,1一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，可以说这条直线和这个平面垂直吗？ 【提示】不可以如果这无数条直线是平行的，则这条直线和这个平面的位置关系不确定 2两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线有什么位置关系？垂直于同一平面的两个平面呢？ 【提示】这两条直线平行或相交或异

3、面；垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交,1(人教A版教材习题改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为() Ab Bb Cb或b Db与相交 【解析】由ab，a知b或b，但直线b不与相交 【答案】C,【答案】D,【解析】A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确 对于命题C，设m，n，在平面内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使am，bn.，am，则a，al，同理有bl.又abP，a，b，l.故命题C正确 对于命题D，设l，则l，且l.故在内存在直线不垂直于平面，即命题D错误 【答案】D,4(2012浙江高考)设l是直线，是两个不同的平面() A若l，l，则 B若l，

4、l，则 C若，l，则l D若，l，则l,【解析】设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误 【答案】B,【尝试解答】(1)因为AB平面PAD，PH平面PAD， 所以PHAB. 因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD. 因为PH 平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD， 所以PH平面ABCD.,1证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；

5、(3)面面平行的性质(a，a)(4)面面垂直的性质 2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3线面垂直的性质，常用来证明线线垂直,【解】(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形 因为QA平面ABCD，所以QADC， 又四边形ABCD为正方形，DCAD，又QAADA，,【思路点拨】 (1)证明DC1平面BDC. (2)先求四棱锥BDACC1的体积，再求三棱柱ABCA1B1C1的体积,【尝试解答】(1)由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC

6、1BC. 由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC. 又DCBCC，所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.,1解答本题(1)的关键是通过证明BC平面ACC1A1来证明DC1BC. 2证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法(1)利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直，与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要，要根据条件的直观图准确选取(2)利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直，即证明两平面形成的二面角是直角,(2013韶关模拟)如图754所示，在四 棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD， ABAD，BAD60，E，F分别是AP，

7、AD的中点 求证：(1)直线EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD. 【证明】(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为 AP，AD的中点，所以EFPD.,又因为EF平面PCD，PD平面PCD， 所以直线EF平面PCD. (2)连接BD.因为ABAD， BAD60，所以ABD为 正三角形 因为F是AD的中点，所以BFAD. 因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以BF平面PAD. 又因为BF平面BEF. 所以平面BEF平面PAD.,如图755所示， 四棱锥PABCD中，底面ABCD 为平行四边形，DAB60，AB 2AD，PD底面ABCD. (1)证

8、明：PABD； (2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高 【思路点拨】 (1)证明BD平面PAD. (2)作DEPB，证明DE平面PBC，在PDB中计算 DE的长,1解答本题的关键是通过计算证明ADBD，这也是解题中容易忽视的方法 2面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直在其中一个面内作交线的垂线，这是常作的辅助线 3空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想,如图756所示，平行 四边形ABCD中，DAB 60，AB2，AD4， 将CBD沿BD折起到EBD 的位置，使平面E

9、DB平面ABD. (1)求证：ABDE； (2)求三棱锥EABD的侧面积,(2013广州模拟)如图757，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB60，PAPD，PB2，E，F分别是BC，PC的中点,(1)证明：AD平面DEF； (2)求二面角PADB的余弦值 【思路点拨】(1)取AD的中点G，则平面PGB平面DEF，只需证AD平面PGB即可(2)作出二面角的平面角PGB，在PGB中求解 【尝试解答】(1)取AD中点G，连接PG，BG.,1第(1)问关键是利用平面PGB平面DEF，若AD平面PGB，则一定有AD平面DEF. 2求线面角、二面角的常用方法 (1)线面角的求法：找出斜

10、线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解 (2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有：定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质,(2012湖南高考)如图758所示， 在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，底面ABCD是等腰梯形， ADBC，ACBD. (1)证明：BDPC； (2)若AD4，BC2，直线PD与平 面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积,【解】(1)证明因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD. 又ACBD，PAACA， 所以BD平面PAC. 而PC平面PAC，所以BDPC. (2)如图

11、所示，设AC和BD相交于 点O，连接PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.,垂直问题的转化关系,1.证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a，bab； (4)线面垂直的性质：a，bab.,3证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a，a.,通过近两年的高考试题看，线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点，主要考查空间想象能力和推理论证能力，以及转化思想的应用题型全面，但主要以解答题的形式考查，规范

12、解答至关重要,规范解答之十二立体几何中探索性问题的求解策略 (14分)(2012北京高考)如图759(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图759(2),(1)求证：DE平面A1CB. (2)求证：A1FBE. (3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由 【规范解答】(1)因为D，E分别为AC， AB的中点， 所以DEBC.2分 又因为DE平面A1CB， 所以DE平面A1CB.4分,(2)由已知得ACBC且DEBC， 所以DEAC. 所以DEA1D，DECD. 所以DE平面A1

13、DC. 而A1F平面A1DC，6分 所以DEA1F. 又因为A1FCD，CDDED， 所以A1F平面BCDE， 又BE平面BCDE， 所以A1FBE.9分,(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面 DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q， 则PQBC. 又因为DEBC， 所以DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEP.,由(2)知，DE平面A1DC， 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1CDP.又DPDED， 所以A1C平面DEP.12分 从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ. 14分,【解题程序】第一步：

14、根据三角形中位线证明DEBC.从而证明DE平面A1CB； 第二步：利用线面垂直的判定定理证明DE平面A1DC； 第三步：通过证明A1F平面BCDE来证明A1FBE； 第四步：分别取A1C，A1B的中点P，Q，证明P、Q、D、E四点共面； 第五步：通过证明PDA1C来证明A1C平面DEQ.,易错提示：(1)想不到或不会利用DEA1D，导致无法求解 (2)对于是否存在型问题没有解题思路，从而无法作出辅助线，导致思路受阻 防范措施：(1)对于平面图形的折叠问题，一定要注意折叠前后的不变量与可变量，要有意识地注意折叠前后不变的垂直性与平行性 (2)对于是否存在型问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线,【解析】易证AC平面SBD，因而ACSB，A正确； ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B正确； 由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同 【答案】D,2(2012