复合材料力学Lecture-7.ppt

1、从材料力学可知，刚度反映了材料抵抗变形的能力，强度则反映了材料抵抗破坏的能力。,作为一种结构材料，纤维增强复合材料的强度分析是工程中十分关注的一个问题。,与弹性问题（模量计算）相比，复合材料的强度分析要复杂的多，这主要是因为复合材料具有多种复杂的破坏形式，并且往往同时出现、互相交织在一起。,典型的破坏形式包括：（1）纤维断裂，（2）基体断裂，（3）纤维和基体界面分离等。,6.1 引言,材料力学中分析梁强度的步骤是：（1）计算梁截面所受最大应力，（2）将该最大应力与许用应力对比。,复合材料强度预报同样需要解决两个方面的问题：（1）应力计算，（2）破坏判据。,应力计算必须根据严密的力学理论，但破坏

2、判据则只是一种假说，如材料力学教科书中所熟知的四大强度理论，皆建立在相应的破坏假说之上。,复合材料的破坏判据分为两类：一类称为宏观破坏判据，另一类称为细观破坏判据。在此基础上所建立的复合材料强度理论分别称为宏观力学强度理论与细观力学强度理论。,宏观破坏判据针对复合材料整体，通常是将复合材料截面所受的应力与许用应力进行对比。许用应力需要由对复合材料的破坏试验得到。,细观破坏判据则针对组份，也就是将组份材料（纤维和基体）所受的内应力与其许用应力进行对比。,宏观力学的强度理论通常需要应用单向复合材料沿其主方向的一些强度参数：,细观破坏判据只需要组份材料的强度数据。,典型单向复合材料的强度参数,细观力

3、学的强度理论通常只需要应用组成材料即纤维和基体的强度参数就可以了。一旦纤维或基体出现了破坏，就认为复合材料达到了破坏状态，再也不能继续加载。,目前，复合材料强度理论中的大多数都是宏观力学理论，都需要预先测定复合材料的一些强度参数。,6.2 最大应力理论,该理论是由Jenkins在1920年提出来的，是对各向同性材料（材料力学）中第一强度理论的推广，最初是针对一般各向异性材料的。,该理论认为：为了避免复合材料破坏，下列条件（不等式）必须同时满足：,例6.1：CF/环氧单向复合材料纤维方向与x轴成=300夹角，受xx=120MPa和yy=-80MPa作用， X=1448 (MPa), X=1172

4、 (MPa), Y=48.3(MPa), Y= 248 (MPa)及S=62.1(MPa)。校核该复合材料的强度。,注意(6.1)式与材料力学中第一强度理论的区别。,解：（1）求局部坐标系下复合材料所受的应力：,确定上述坐标变换的元素必须要注意两点：,l1=m2=cos=cos(300), l2=-m1=-sin=sin(300),l1=cos(), m1=-sin(), l2=sin(), m2=cos(),11=(l1)2xx+(m1)2yy=0.75*120+0.25*(-80)=70(MPa),2o、li=cos(xi, x)、 mi=cos(xi, y)、 ni=cos(xi, z)

5、。,由此得到：,22=(l2)2xx+(m2)2yy=0.25*120+0.75*(-80)=-30(MPa),（2）校核复合材料的强度：,-1172MPa111448MPa，,-248MPa2248.3MPa，,|12|=86.6MPa62.1MPa,该复合材料不安全,例6.2：在例6.1中，yy=-0.1xx，xx为正值。求使复合材料不产生破坏的最大xx。,解：（1）求局部坐标下的应力：,11=(l1)2xx+(m1)2yy=0.75xx-0.025xx=0.725xx,22=(l2)2xx+(m2)2yy=0.25xx-0.075xx=0.175xx,12=(l1l2)xx+(m1m2)

6、yy=0.433xx+0.043xx=0.476xx,xxmin1448/0.725, 48.3/0.175, |62.1/0.476|,=min1997.2, 276, 130.5=130.5(MPa),（2）强度条件确定最大外载：,6.3 Tsai-Wu理论,复合材料另一个非常有名的宏观力学强度理论是Tsai Wu理论，最早由Goldenblat和Kopnov在1966年提出，由Tsai和Wu在1971年最终完善。,该理论认为：只要下列不等式成立，单向复合材料就不会破坏：,(6.2),其中，,例6.3：硼/环氧和Kevlar/环氧单向复合材料，受偏轴角方向拉伸。分别用最大应力理论和Tsai

7、-Wu理论确定由 00变到900时的强度。材料的强度参数见下表。,解：（1）求局部坐标下的应力：,l1=m2=cos, l2=-m1=-sin,11=xxcos2, 22=xxsin2, 12=-xxsincos,（2）由最大应力理论，有：,（3）由Tsai-Wu理论，代入方程(6.2)并整理，得：,其中，,两个宏观力学强度理论得到的结果相近。,6.4 剪应力方向的影响,研究各向同性材料的强度问题时，剪应力的方向可能不很重要，但对各向异性的复合材料，情况会变的完全不同。沿不同方向施加剪应力，同样一个复合材料，可能会是十分安全，也可能会导致破坏。,由于复合材料的横向受压承载能力往往成倍或者数倍于

8、它的横向受拉承载能力，比如前一个例题中的两个单向复合材料：,因此，如果分析复合材料的强度或者对复合材料进行结构设计时把外载、偏轴角或者坐标系的方向弄错，就有可能得出完全相反的结论，甚至导致灾难性后果。,首先选定总体坐标系（x, y），再定局部坐标系（x1, x2），使两者的第三个坐标轴方向一致，符合右手螺旋法则。,剪应力如xy的正方向：第一个下标代表应力作用平面，第二个下标代表作用方向，与y 轴正方向一致为正。,整体到局部的应力变换公式一样：,可见，整体坐标选取不一样会影响局部剪应力符号,考察更一般情形,两者相差一个符号,例6.4：单向复合材料强度参数见下表，偏轴角300，受不同方向剪应力作用

9、。试用最大正应力理论确定各自所能承受的最大剪应力。,解：1）求主轴（局部）坐标系下的应力,11=xysin2, 22=-xysin2, 12=xy(cos2 - sin2),由于=300，得到：,11=0.866xy, 22=-0.866xy, 12=0.5xy,2）强度条件定最大载荷,对应情形(A)，有：,xymin2482/0.866, 62.7/0.866, 82.7/0.5=72.4MPa,xymin1586/0.866, 241/0.866, 82.7/0.5=165.4MPa,对应情形(B)，有：,l1=cos(), m1=sin(), l2=-sin(), m2=cos(),6.

10、5 简单载荷下的强度计算公式,单向复合材料的弹性常数可以通过简单、封闭的公式计算，如ROM或Chamis公式。在简单载荷作用下，可以导出单向复合材料封闭的强度公式。,宏观力学强度公式的应用必须要知道复合材料的一些强度参数，其确定往往比较麻烦。如果只需根据纤维和基体材料的性能参数就可以计算得到复合材料的强度，显然会给工程应用带来极大方便。,首先考虑简单载荷下的强度计算，就是单向复合材料仅仅只受单向应力或面内剪应力作用。,所谓简单载荷是指：单向复合材料仅仅只受到轴向拉伸或压缩、横向拉伸或压缩，或者只受到平面内剪切作用。,在简单载荷作用下，单向复合材料的纤维和基体分别都只产生有正应力或剪应力，但不会

11、同时出现，从而使得应力计算可以由封闭公式给出。,为了分析的方便，还假定纤维直到破坏都保持为线弹性，基体为双线性型的弹塑性材料：,=弹性模量,=硬化模量,瞬态桥联矩阵：,当单向复合材料只受简单载荷作用，即正应力和剪应力互不耦合，纤维和基体中对应的内应力之间也互不耦合。从而，其瞬态柔度矩阵与弹性矩阵类似，桥联矩阵与弹性阶段的桥联矩阵形式相同：,6.5.1 内应力公式,其中 dm=Aijdf,采用增量分析法，内应力增量由以下公式计算：,导得：,这些应力公式与弹性问题分析中导出的全量型的公式相似。,根据这些应力公式，不难列举出复合材料达到破坏的可能情况：,（1）纤维应力达到了其强度极限，基体中的应力还

12、没有超过其屈服极限；,（2）纤维达到其强度极限，但基体中的应力也超过了其屈服极限；,（3）基体应力达到了其强度极限。,6.5.2 轴向强度,指仅沿轴向加载11时单向复合材料所能承受的最大轴向应力 。,假定使纤维和基体中的应力皆保持在弹性阶段的最大外载为 。那么，,&,必须有：,在轴向外载下，单向复合材料仅有的内应力分量为：,(6.3),如果复合材料还可继续承载，就有：,(6.4),&,必须满足：,其中，,解：直接由公式（6.4）求单向复合材料的轴向拉伸强度。代入所给数据，得到：,=(72)/(0.6)(72)+(0.4)(3.5) =1.6143,=(3.5)/(0.6)(72)+(0.4)(

13、3.5) =0.0785,=(73)/(0.6)(72)+(0.4)(0.8) =1.6544,=(0.8)/(0.6)(72)+(0.4)(0.8) =0.0184,=min(30)/(0.0785),(2010)/(1.6143) =min382.2,1245.1=382.2(MPa),=min1224.2, 1034.2=1034.2(MPa),因此，该单向复合材料的轴向拉伸强度为1034.2MPa,单向复合材料强度公式的另一重要用途是反演组成材料尤其纤维的强度。,例6.6：CF/环氧单层板, Vf=0.62， =1500MPa, = 225GPa, Em=3.4GPa, m=0.35,

14、 =34MPa, =0.8GPa, =44MPa, 试求,解：强度公式中的各系数如下：,=(225)/(0.62)(225)+(0.38)(3.4) =1.5981,=(3.4)/(0.62)(225)+(0.38)(3.4) =0.0242,=(225)/(0.62)(225)+(0.38)(0.8) =1.6094,=(0.8)/(0.62)(225)+(0.38)(0.8) =0.0057,进一步,=1500(MPa),=(1500)(1.6094)+(1.5981-1.6094)(1239.7),=2400(MPa),只需将有关材料参数用压缩试验下的参数代替，就可以得到类似的压缩强度计

15、算公式。,6.5.3 横向强度,在仅仅施加横向外载下，所产生的内应力分量为：,是指仅沿横向加载22时单向复合材料所能承受的最大横向应力,需要注意的是，尽管复合材料只受单轴（横向）应力，但纤维和基体中分别产生了双轴（轴向和横向）内应力。,不过，不难预料，纤维和基体中的轴向应力值相对横向内应力将是较小的量。,忽略轴向应力后的内应力为：,假定使纤维和基体中的应力皆保持在弹性阶段的最大外载为 。那么，,&,必须有：,(6.5),其中（假定取=0.5），,如果复合材料没有破坏则可进一步加载，此时的内应力为：,&,这些应力必须满足:,由此得到横向强度公式为：,其中（假定取=0.5），,(6.6),大多数情

16、况下，复合材料的横向强度取决于基体的强度，因而可以将(6.6)式简化为：,(6.7),在(6.6)式中， 为纤维的强度，理论上应该取纤维的横向强度，但由于纤维横向强度的测试十分困难，可用纤维的轴向强度代替。,(MPa),解：,=min2162.2, 1095.1=1095.1(MPa),细观力学的强度公式不仅直接计算得到复合材料的强度，而且还清楚地表明：该复合材料沿横向的破坏是由于基体的首先破坏所引起的。,以上的横向强度计算公式是假定桥联参数 =0.5。若 取其它值，只需改变强度公式中的有关系数，即：,例6.8：GF/环氧单层板性能参数与例6.5相同，即Vf= 0.6, Ef=72GPa, f

17、=0.2, =2010MPa, Em=3.5 GPa, m=0.34, = 30MPa, =0.8GPa, =42MPa。求该复合材料对应桥联参数=0.3, 0.4, 0.5和0.6时的横向强度。,解：（1）当=0.5时，有：,=1.235,=0.6475,=1.2465,=0.6302,=min46.3,1627.5=46.3(MPa),=min1612.9, 65.4=65.4(MPa),因此，横向破坏的确是由基体的破坏所引起，可以用简化公式计算复合材料强度：,=65.4(MPa),=(0.3)+(1-0.3)(3.5)/(72)=0.334,=(0.3)+(1-0.3)(0.8)/(72

18、)=0.3078,=0.4553,=0.4257,（2）当=0.3时，有：,=94.1(MPa),（3）当=0.4时，有：,=(0.4)+(1-0.4)(3.5)/(72)=0.4292,=(0.4)+(1-0.4)(0.8)/(72)=0.4067,=0.5565,=0.5333,=76.4(MPa),=(0.6)+(1-0.6)(3.5)/(72) =0.6194,=(0.6)+(1-0.6)(0.8)/(72) =0.6044,=0.7306,=0.718,（4）当=0.6时，有：,=57.8(MPa),桥联参数 取值越小，预测的复合材料横向强度越高。这与模量的预报值是一致的。,当复合材

19、料仅仅受到d12作用时，纤维和基体中分别都只出现有剪应力：,6.5.4 面内剪切强度,假定外载达到 之前纤维和基体都只产生弹性变形，我们有：,由于纤维总是线弹性的，基体的屈服条件为：,这就要求根据(6.8)式计算出的应力必须满足：,(6.8),&,和,这些应力必须满足:,如果复合材料还没有破坏，则可以继续施加12载荷。根据基体材料的双线性弹塑性假设，有：,(6.9),(6.10),当纤维的模量和强度都远高于基体的对应值时，单向复合材料的剪切强度通常都取决于基体的强度。从而，复合材料的剪切强度可以简化为：,以上系数公式中，桥联参数 取为=0.5。同样为了简单起见，(6.9)和(6.10)式中，取

20、为纤维的轴向强度。,例6.9：单向复合材料性能参数同例6.6。求桥联参数 分别取=0.3, 0.4, 0.5, 0.6时对应的剪切强度。,Vf=0.62, =15GPa, Gm=1.26GPa, =34MPa, =0.8GPa, =44MPa, =2400MPa。,解：根据例6.6，该复合材料的性能参数为：,（1）当=0.5时，有：,=1.2107,=0.6562,=1.2294,=0.6257,=min29.9,1982.3=29.9(MPa),=min1952.6, 68.9=68.9(MPa),由于剪切强度是由基体的强度所控制，可以应用简化公式计算。,（2）对任意，都有：,（3）当=0.

21、3时，有：,=0.3588,=0.3124,=0.4744,=0.4229,=99(MPa),（4）当=0.4时，有：,=0.4504,=0.4107,=0.5693,=0.5292,=80.5(MPa),=0.6336,（5）当=0.6时，得到：,=60.8(MPa),=0.6071,=0.7361,=0.7137,=0.3, 0.4, 0.5, 0.6时, 对应的剪切强度为99MPa, 80.5 MPa, 68.9MPa, 60.8MPa。,同样，我们看到：桥联参数取值越小，预测的复合材料剪切强度越高。,6.6 组份材料的现场强度,根据桥联理论计算复合材料的强度必须要输入纤维和基体的性能参

22、数。,其中，纤维和基体的弹性性能参数可以由纯组份材料的性能实验获得，或者采用材料供应商提供的数据。,但是，纤维和基体的现场强度（将复合材料中纤维和基体的强度称为现场强度，即in-situ strength）则往往与纯组份材料的实验值有异。,6.6.1 纤维的现场强度,一般来说，纤维的现场强度与原始强度一致。由于纤维的强度通常都是根据复合材料的强度反演确定，但不同细观力学理论得到的结果必然有差异。,实践中，纤维的轴向拉伸或压缩强度最有可能由下述混合率强度公式反演确定：,该混合率强度公式有两个特点：10、为近似公式，因为不含组份材料的模量；20、计算精度相当高，与桥联理论计算的轴向强度相比，误差仅

23、在20%左右。,解：例6.5中，桥联模型计算的轴向强度为1034.2MPa。,混合率公式计算的为1222.8MPa，两者差相18.2%。,有鉴于此，纤维的强度一般需要基于桥联模型对单向复合材料轴向拉压强度反演计算。但是，一旦反演确定，纤维的强度将保持不变。,4种典型纤维材料的现场拉、压强度如下：,由此，可以建立起纤维材料现场强度的数据库，因为纤维材料种类通常有限。凡是由这些纤维材料构建复合材料，都可以此强度参数作为设计值。,然而，基体的现场强度差异很大。,6.6.2 基体的现场强度,由高等材料力学或弹性力学可知，开有圆孔的各向同性平板受力后在圆孔附近产生应力集中，应力集中系数最大值3，就是说，

24、圆孔附近平板强度只有原始强度的1/3。,同样，夹有纤维的各向同性基体受力后在纤维附近必然会有应力集中，导致基体现场强度降低。,当(b/a)，得到平面应力问题中基体的应力场如下：,为计算应力集中系数，首先须确定添加纤维后引起的基体中的应力场。,复合材料特征体元对应于平面应变问题，只需将组份材料的模量与泊松比用广义模量和广义泊松比代替：,i=f, m,换言之，只需将应力公式中的系数A和B用以下的A和B代替即可（纤维可以是横观各向同性的）：,经坐标变换，得到与加载方向一致的应力分量为：,计算应力集中系数（平板带圆孔）的经典做法是：将圆孔附近与外加应力同方向的最大应力除以外加应力。,简单说，就是将 中

25、的最大值除以外加应力 。,但是，在本问题中，这样所得到的应力集中系数将与纤维体积含量无关。这显然是不符合实际的。,为此，将对应于横向加载的基体应力集中系数定义为两部分的乘积：,K=KIKII， (6.11）,其中，,积分得出：,(6.12.1),例6.11：单向复合材料, Vf=0.6, =0.45, 纤维与基体弹性参数见下表。求该单向复合材料中的基体材料对应横向载荷作用的应力集中系数K。,(6.12.2),解：（1）求 A和B：,根据前述公式，求得A=0.10748，B=0.4164,（2）求 KI和KII：,根据所给公式，求得KI=1.30376，KII=1.39338,（3）K=1.81662,得到了基体材料对应于横向加载的应力集中系数后，基体沿横向的现场强度就定义为基体的原始强度除以应力集中系数。,其它方向的基体现场强度认为与基体的原始强度相同，即轴向拉、压及剪切强度与其原始拉压和剪切强度相同。,很显然，基体的现场强度表现为各向异性特性，可以应用针对复合材料的破坏判据来控制基体的破坏，比如，应用Tsai-Wu判据，我们有：,其中， 、 和Sm分别是基体的原始拉伸、压缩与剪切强度。,基体的拉伸或压缩破坏则根