勾股定理9种证明(有图)

1、.勾股定理的 9 种证明（有图）【证法 1】（邹元治证明）以 a、b 为直角边， 以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，c三点在一条直线上， c、g、d三点在一条直线上 . rt hae rt ebf,d ahe = bef.a aeh + ahe = 90o,使 a、e、b三点在一条直线上， b、f、bgaccb aeh + bef = 90 o.h hef = 180o 90o= 90 o. 四边形 efgh是一个边长为 c 的b正方形 . 它的面积等于 c2.ccfca rt gdh rt hae,a hgd

2、= eha. hgd + ghd = 90o, eha + ghd = 90o.又 ghe = 90o, dha = 90o+ 90 o= 180 o.aebb abcd是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于a b 2.a2b4 1 ab c2222.2. abc【证法 2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f 在一条直线上 .过 c 作 ac的延长线交 df于点 p.且 rtgef rtebd,d d、e、f 在一条直线上 , egf = bed，b egf + gef = 90，cf

3、bed + gef = 90，gca beg =180o90o= 90 o.aefh又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一个边长为 c 的正方形 .ba abc + cbe = 90o.gceb rtabc rtebd,p abc = ebd.bb ebd + cbe = 90o.ccc即 cbd= 90o.ahad又 bde = 90o，bcp = 90o，ba;.acb.bc = bd = a. bdpc是一个边长为 a 的正方形 .同理， hpfg是一个边长为 b 的正方形 . 设多边形 ghcbe的面积为 s，则a2b2s21 ab,1 ab2c 2s2,2a

4、2b2c2 .【证法 3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形，使 e、a、c三点在一条直线上 .过点 q作 qpbc，交 ac于点 p. 过点 b作 bmpq，垂足为 m；再过点 f 作 fnpq，垂足为 n. bca = 90o，qpbc， mpc = 90o， bmpq， bmp = 90o，ebafcapcmcnbc bcpm是一个矩形，即 mbc = 90o. qbm + mba = qba = 90o，qcbabc + mba = mbc = 90o， qbm

5、 = abc，又 bmp = 90o，bca = 90o，bq = ba = c ， rt bmq rt bca.同理可证 rt qnf rt aef.从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 4】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使在一条直线上，连结bf、cd. 过 c作 clde，g交 ab于点 m，交 de于点hl. af = ac ，ab = ad，acfab = gad，ffab gad，ba12ma，afab的面积等于 2abh、c、b 三点kb;.c.gad的面积等于矩形adlm的面积的一半， 矩形 adlm的面积 =

6、a 2 .2同理可证，矩形mleb的面积 = b .= 矩形 adlm的面积 + 矩形 mleb的面积 c 2a 2b2 ，即 a2b2c 2 .【证法 5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形 . 于 f，af 交 dt于 r. 过 b 作 bpaf，垂足为 p. 过 d作 de与a、b（ba），斜边长为 c.过 a 作 afac，af 交 gt cb的延长线垂直，垂足为e，de交 af 于 h. bad = 90o，pac = 90o，gad dah = bac.又 dha = 90o，bca = 90

7、o，cad = ab = c ，b921c rtdha rtbca.f 8 ra dh = bc = a ，ah = ac = b.hp由作法可知， pbca 是一个矩形，t3456所以 rtapb rt bca. 即 pb =ccbca = b ，ap= a，从而 ph = b a.q rtdgt rtbca ,7eacrtdha rtbca.b rt dgt rt dha . dh = dg = a ， gdt = hda . 又 dgt = 90o，dhf = 90o， gdh = gdt + tdh = hda+ tdh = 90o， dgfh是一个边长为 a 的正方形 . gf =

8、fh = a . tf af，tf = gtgf = b a . tfpb 是一个直角梯形，上底 tf=ba，下底 bp= b，高 fp=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为c2s1s2s3s4 s5s8s3s41a b ab b a2s5s8s9 ， s321s4b2 abs8 = b2s1 s8b 21 ab=2，.把代入，得c 2s1s2b2s1s8s8s9;.= b2s2s9 = b2a 2 . a 2b 2c 2 .【证法 6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为 c.做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把

9、它们拼成如图所示形状，使a、e、 g三点在一条直线上 .用数字表示面积的编号（如图） . tbe = abh = 90o， tbh = abe.又bth = bea = 90o， bt = be = b ， rt hbt rt abe. ht = ae = a. gh = gtht = b a. 又 ghf + bht = 90o，dbc + bht = tbh + ghf = dbc. db = eb ed = b a， hgf = bdc = 90o，tbb82 crd6h31ag7mf4ea5cbht = 90o，q rthgf rtbdc. 即s7 s2 .过 q作 qmag，垂足是

10、m. 由 baq = bea = 90o，可知 abe= qam，而 ab = aq = c ，所以 rtabe rtqam . 又 rt hbt rt abe. 所以 rthbt rtqam . 即 s8s5 .由 rtabe rtqam，又得 qm = ae = a ， aqm = bae. aqm + fqm = 90o， bae + car = 90o， aqm = bae， fqm = car.又 qmf = arc = 90o，qm = ar = a ， rtqmf rtarc. 即 s4s6 . c 2s1s2s3s4s5 ， a 2s1 s6 ， b2s3s7s8 ，又s7s2

11、 ， s8s5 ， s4s6 ， a2b2s1s6s3s7s8=s1s4s3s2s5=c 2 ，即 a2b 2c 2 .【证法 7】（利用多列米定理证明）;.在 rtabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边 ab = c（如图） .过点 a 作 adcb，过点 b 作 bdca，则 acbd为矩形，矩形 acbd内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有abdcadbcacbd ， ab = dc = c ，ad = bc = a ， ac = bd = b ，dbb ab 2bc 2ac 2 ，即 c2a 2b 2 ，cca a2b 2c 2

12、.aabc【证法 8】（利用反证法证明）如图，在 rtabc中，设直角边 ac、bc的长度分别为 a、b，斜边 ab的长为 c，过点 c 作 cdab，垂足是 d.假设 a 2b 2c 2 ，即假设 ac 2bc 2ab 2 ，则由ab 2ab ab = ab adbd = abad ab bd可知 ac 2abad ，或者 bc 2ab bd .即 ad：acac：ab，或者 bd：bcbc：ab.在 adc和 acb中， a = a，c 若 ad：acac：ab，则badc acb.a在 cdb和 acb中， b = b， 若 bd：bcbc：ab，则 cdb acb.又 acb = 90o， adc90o， cdb 90o. 这与作法 cdab矛盾 . 所以，adcbac 2bc 2ab 2 的假设不能成立 . a2b 2c 2 .【证法 9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a