余数问题(教师版)

1、余数问题知识精讲一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余

2、数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5

3、的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk，k是整数，即m|(ab)经典例题 【例1】用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和【解析】 因为是的倍还多,得到，得，所以， 【例2】 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数【解析】 (法1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙

4、乙；【解析】 则乙，甲乙【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3713，所求的两 位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例4】有两个自然数相除，商是，余数是，已

5、知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人? 【解析】 由，知，一组是10或11人同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一

6、组10人【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为【例7】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，的约数有，所以这个数可能为。【例8】 与的和除以7的余数是_【解析】 找规律用7除2，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，

7、,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4因为，所以除以7余4又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同而2003除以7余1，所以除以7余1故与的和除以7的余数是【例9】求的余数【解析】 因为，根据同余定理(三)， 的余数等于的余数，而， ，所以的余数为5【例10】 求的最后两位数【解析】 即考虑除以100的余数由于，由于除以25余2，所以除以25余8， 除以25余24，那么除以25余1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4 和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余

8、1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为63【例11】除以7的余数是多少？【解析】 除以7的余数为1，所以，其除以7的余数为：；2008除以7的余数为6，则除以7的余数等于除以7的余数，为1；所以除以7的余数为： 课后作业【作业1】5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。【答案】79【作业2】明明在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相同，这题中的除数是多少？【答案】18【作业3】两数相除，商4余8，被

9、除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为，所以，被除数为。【作业4】除以一个两位数，余数是求出符合条件的所有的两位数【解析】 ，那么符合条件的所有的两位数有，因为“余数小于除数”,所以舍去，答案只有。【作业5】求除以17的余数【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数除以17的余数分别为2，7和11，【作业6】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得

10、到相同的余数（都为）既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是的约数，又是的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19 【作业7】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人? 【解析】 由，知，一组是10或11人同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人【作业8】某个大于1的自然数分别除442，297，210，得到相同的余数，则该自然数为 。【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。因为该自然数能整除，也能整除，同样能整除。所以可知这个自然数必定是145，232，87的公约数。而这三个数大于1的公约数只有29。所以可知这个自然数为29。【作业9】两位自然数与除以7都余1，并且