第10章数理方程与特殊函数

1、第六篇 数理方程与特殊函数,一、数理方程的定义 指自然科学和工程技术的各门分支中出现的一些偏微分方程（也包括积分方程、微分积分方程）. 二、数理方程的主要任务 建立数理方程，结合所满足的条件进行求解. 三、特点：,涉及知识面广、数学推演多、难度大,四、学习方法： 理清思路、加强推演,10.1 数学物理方程的导出,数学物理方程导出步骤如下：,(2) 把这种影响用算式表达出来，经分析简化整理 就是数学物理方程。,(1) 确定所要研究的物理量 u , 从研究的系统中 划出一小部分，根据物理规律分析邻近部分和 这个小部分的相互作用，这种相互作用在一个 短时间里怎样影响物理量 u ；,第二十四章 数学物

2、理方程和 定解条件的推导,一、弦的微小横振动方程,所谓“横向振动”是指全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于弦所在直线方向上运动. “微小”意味着可以认为弦在振动过程中并未伸长. 下面求弦上各点的运动规律.,设有一根均匀柔软的弦，两端拉紧固定.,它在不振动时是一条直线, 取这直线为 x 轴, 建立坐标系.,弦上各点的横向位置 u 是位置 x 和时间 t 的函数，记作 u( x, t ).,把弦细分成许多极小的小段，,取区间( x, x+dx)上的一小段 AB为代表加以研究.,由于弦是柔软的，所以张力的方向总是沿着弦的切线方向.,受力分析：作用在弦两端的张力T1和T2 重力（忽略不计）,

3、设弦的线密度为r ,由牛顿第二定律，得AB 段的横向运动方程,AB 的长度,在微小振动条件下,其中,对于微小振动，因为,所以有,即有,代入平衡方程化简，得,（24.4)可改写为：,整理得：,对均匀弦，各小段的密度r是相同的，即r为常数，,若弦在振动过程中还受到外力的作用，设作用 在单位长度上的横向力是,则式（24.2) 应修正为：,（24.6) 式相应地修改为,其中,均匀杆的纵振动方程跟弦振动方程形式上完全一样.,自由振动,受迫振动,二、扩散方程,由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，我们将这种现象称为扩散.,二、扩散方程,由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，

4、我们将这种现象称为扩散.,二、扩散方程,由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，我们将这种现象称为扩散.,二、扩散方程,由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，我们将这种现象称为扩散.,二、扩散方程,由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，我们将这种现象称为扩散.,二、扩散方程,由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，我们将这种现象称为扩散.,扩散问题研究的是浓度u在空间分布和时间中 的变化,浓度不均匀的程度一般用浓度梯度 表示.,扩散运动的强弱通常用单位时间内通过单位横截面的原子数或分子数表示，称为扩散流强度.,记为q .,引起扩散运动

5、的原因是浓度分布不均匀，,扩散流强度和浓度梯度的关系，用扩散定律表示为：,这里负号表示扩散转移方向（浓度减少的方向）与浓度梯度（浓度增大的方向）相反，比例系数 D 叫扩散系数.,设细杆的截面积为常数A, 又设它的侧面绝热.,作为一个简单的模型，考虑一根均匀细杆内热量传播的过程.,由于杆很细，在任何时刻都可以把横截面上的温度视为相同. 这是一个一维的情形.,即热量只能沿长度方向传导，,O,x,x,x+Dx,考察在时间间隔 t 到 t+Dt 内，细杆上 x 到 x+Dx 小段的热量流动情况. 设细杆比热为 c, 面密度为 r，,此段质量为rADx.,Dt内该段温度升高u(x, t+Dt)- u(x

6、,t),引起该段温度升高所需的热量为,另一方面，由热传导理论，,傅立叶实验定律物体在无穷小时间段dt内,流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,曲面面积dS以及物体温度u沿曲面dS的外法线方向的方向导数 三者成正比,即 其中k0为热传导系数.负号表示热量从高温处流向低温处.,流入该小段的热量,同样，在Dt 时间内，流出 x+ Dx 截面的热量,（中值定理）,另一方面，由热传导理论，在Dt 时间内，沿Ox 轴正向流入 x 截面的热量,由热平衡方程 ，可得,令Dx0， Dt 0，得到,这就是一维热传导方程.,当杆内有热源时，若此热源的密度为F(x, t)，即在 t 时刻, x处单位时间内单位长

7、度上所放出(或吸收)的热量，得到,一维扩散方程形式为,三维扩散方程的形式为,当 D 为常数时，则 (24.17) 可化为,即,三、稳定浓度分布,扩散达到稳定状态，空间中各点的浓度不再 随时间变化，即ut = 0.,于是三维扩散方程（24.17),成为浓度的稳定分布方程,如果扩散系数D在空间中是均匀的，则（24.18) 可 化为拉普拉斯 (Laplace) 方程,10.2 定 解 条 件,一、初始条件,对于运输过程（扩散、热传导），初始状态指 的是所研究的物理量 u 的初始分布（初始浓度分 布，初始温度分布），因此初始条件是：,对于振动过程（如：弦，杆等振动），要给初始,还要给出初始速度,还有一

8、类“没有初始条件的问题”，如拉普拉斯 方程等是描述稳恒状态的，与初始状态无关， 所以不提初始条件.,“位移”,二、边界条件,1. 固定端，此时对应于这种状态的边界条件为,2. 自由端，即弦在这个端点不受位移方向的力，,从而在这个端点弦在位移方向张力为零，即,从弦振动问题出发，弦在振动时，其端点（以 x = a 表示这个端点）所受的约束情况，通常有三种类型,或,3. 弹性支承端，即弦在这个端点被某个弹性体,所支承.,或,3. 弹性支承端，即弦在这个端点被某个弹性体,所支承.,设弹性支承原来的位置为 u = 0, 则,就表示弹性支承的应变.,由虎克（Hooke)定律知，,弦在 x = a 处沿位移方向张力,从而,总之，不论对弦振动问题，还是热传导问题， 它们所对应的边界条件，不外有三种类型：,这种形式的边界条件称为第一类边界条件，,方向的方向导数，即,又称为狄里克莱(Dirichlet)边界条件；,这种形式的边界条件称为第二类边界条件，又称 为纽曼（Neumann)边界条件；,向微商某种线性组合的值，即