小学奥数-中国剩余定理

1、中国剩余定理,2015.08.22,整数除法,被除数除数=商余数（余数除数） A B = C R （被除数余数）除数 = 商 (A R) B = C,例1、 一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,求这个两位数,用它除58余2，意外着这个两位数是56（58 2）的因数。同样的也是70和84的因数。 所以这个两位数是56，70，84的公因数，答案是14 。,例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?,因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数，都没有剩

2、余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和12的公倍数。8，10，12=120 。 120+3=123 所以这盒乒乓球至少有123个。,例3、把几十个苹果平均分成若干份,每份4个余2个,每份10个余8个,每份25个余23个.这堆苹果共有几个？,题目的意思相当于：这个数除以4缺2，除以10缺2，除以25也缺2。 因此加上2后，除以4、除以10和除以25时，就都正好能整除了，也就是4，10和25的公倍数。 4，10，25=100，100一2=98，所以这堆苹果的数量是98。,例4、 有一个数，除以8余数是3，除以11余数是2，这个数最小是多少？,由于这个数除以8和11的余数不相同，而且缺少的 数也不相

3、同，因此不能直接利用最小公倍数来解决 我们先看“除以11余2这个条件，从小到大依次在所有满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3”的数。 2+11=13，138=15，不符合； 13+11=24，248=3，也不符合； 24+11=35，358=43，符合条件。 因此这个数最小是35,例5、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?,这个问题可以概括为：一个数，除以4余1，除以9余4，除以11余9。 我们可以从满足“除以11余9”的数中，找出“除以9余4”的数，这只要依次加上11即可；然后再找出“除以4余1”的数，这需要依次加上9和11的最小公倍数99

4、即可。 9+11=20 209=22，不符合“除以9余4的条件； 20+11=31 319=34，符合“除以9余4”的条件； 但314 =73，不符合“除以4余1的条件； 31+99=130，1304=322，也不符合“除以4余1”的条件； 130+99 =229，2294 =571 符合“除以4余1”的条件。 因此这堆糖果至少有229个。,“韩信点兵”的故事,韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士

5、兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数(2111,4421,)。,孙子算经中的题目 我国古代数学名著孙子算经中有“物不知数”的题目： 今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？ 还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀 ：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知” 实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。 这就是著名的中国剩余定理。,例6、今有

6、物不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？,题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5除余3。 歌诀 ：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知” 那么就用21乘3，被7除余2，那就15乘2，相加： 702 + 213 +152=233。 看情况减3、5、7的最小公倍数的倍数。此题减105的2倍，得到23。,例7、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4。这个数最小是多少?,这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是多

7、少呢? 歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数；21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是能被3和5整除，而被7除余1的最小数。 利用这个思路，我们来解答例7。 因为7，9 =63，635=123；而63 x 2=126，1265=251。 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。,例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4。这个数最小是多少?,能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7除余1的最小数是225；能被5和7整除，而被9除余1的最小数是280。 1126+2x225+4280=696。 这个数显然太大，接下来就要减去5、7和9的最小公