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文档简介
1、幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 解: 当时,因 , 所以收敛,当时, 绝对收敛, 收敛区间为。 2. 解: 当时,为收敛的交错级数,当时, 发散, 收敛区间为。 3. 解:, 当时,通项不趋于零, 收敛区间为。 4. 解:故当,即时级数绝对收敛。当时, 发散,当时, 为收敛的交错级数, 收敛区间为。 5. 解:故当,即时级数绝对收敛。当时,因为,所以 收敛,当时,因为当时 所以发散, 收敛区间为。 6. 解:故当,即时级数绝对收敛。 当时, 为收敛的交错级数,当时, 为收敛的交错级数, 收敛区间为。二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 解:故当时级数绝对收敛,当时,级数发散
2、。当时, 为收敛的交错级数,当时, 为收敛的交错级数, 收敛区间为。令2. 解:故当时级数绝对收敛,当时,级数发散。当时, 发散,当时, 发散, 收敛区间为。令3. 解: 当时,发散;当时,发散, 收敛区间为。 令4. 解:故当时级数绝对收敛,当时,级数发散。当时, (通项不趋于零)发散, 收敛区间为。令故另解 三、求下列级数的和1. 也可以考虑利用幂级数 2. 四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数1.解:,故该级数的收敛区间为。再由因有界,是收敛级数的一般项,所以对任意的上式均成立。2. 解:,由 故该级数的收敛区间为。再由因为绝对收敛级数的一般项,所以对任意的上式均成立。五、使用间接展
3、开法将下列函数展开成幂级数常用幂级数展式:(1)(2)(3)(4)(6)(7)基本方法:代数法,即代换;利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数,再积分可得原函数的幂级数展式。1解:由,令得 。2. 解:由,令得。3. 解:由,及令得。4. 解:时,均为收敛的交错级数。5. 解:由及,令得 6. 解:由,得7. 解: 。六、在指定点处将下列函数展开成幂级数1. 解:由及,令得。2. 解:。七、求函数在处的阶导数解:。八、设有两条抛物线和,记它们的交点横坐标的绝对值为(1)求的表达式(2)求这两条抛物线所围成的图形的面积(3)求级数的和解:(1);(2);(3)由,
4、得幂级数部分习题课常用幂级数展式:(1)(2)(3)(4)(6)(7)基本方法:代数法,即代换;利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数,再积分可得原函数的幂级数展式。补充例题一、 把下列函数展成的幂级数1. 解:。2. 解:由及。3. 解:由及 。4. 解:而 故 。二、 把下列函数在指定点展成幂级数1. 在处解:2. 在处解:故3. 在处解: 。4. 在处解:由及三、 幂级数求和步骤:1. 求出给定级数的收敛区间; 2. 两种途径:适当变形逐项积分 常见函数之幂级数(几何级数等)逐项求导得和函数适当变形逐项求导常见函数之幂级数(几何级数等)逐项积分得和函数1解:由,可知,故收敛区间为,设,逐项积分得 。2. 解:由,得,
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