2011-2013年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题及答案

1、2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式中的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。（A）2倍 （B）4倍 （C） 6倍 （D） 8倍答：选B。2、有甲、乙两班，甲班有m个人，乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）（A） （B） （C） （D）答：选D。3、若实数a满足，则一定等于（ ）（A）2a （B）0 （C） -2a （D）-a答：因为，所以，故，选C。4、中，AD是的平分线，且。若，则的大小为（ ）（A） （B） （C） （D）答：作C关于AD的对称点C。因为AD是角

2、平分线，则C一定落在AB上。由，得，故，所以，又，故，选A。5、在梯形ABCD中，平行BC，若的面积是2，则梯形ABCD的面积是（ ）。（A）7 （B）8 （C）9 （D）10答：设。由，故，同理，故，所以梯形面积是9，选C。6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。重量（千克）11.522.533.5长度（厘米）4.555.566.57A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y）与称重（x）的关系是，故弹簧最长为13.5厘米，选B。二、填空题（

3、本题满分28分，每小题7分）1、已知，则的值为.答：由题设有：，则。2、已知在中，AD是的平分线交BC于点D，则的度数是 。答：因为AD是角平分线，所以，故。、在中，I是的角平分线的交点，则的度数为 答：由题知。、设函数与的图像相交于A、C，过A作x轴的垂线相交于B，则的面积是 。答：由题得B的坐标为，所以，又显然O为AC的中点，故。三、（本大题满分20分）设是关于的方程。当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求的取值范围。解：方程整理为当时，方程的解为： 5分（1）当时，则，此时，或；10分（2）当时，则，此时，； 15分（3）当时，则，此时，。 20分四、(本大题满分

4、25分)在平面直角坐标系中，A（2,0），B（3,0），P是直线上的点，当最小时，试求P点的坐标。解：如图，作A关于直线的对称点A，则，故。 5分由图知，只有当A、P、B共线时，最小。 10分又由A与A关于对称知，A（0,2）。 15分由、两点坐标得AB直线方程：。 20分联立解得，故当最小时，P的坐标为。25分五、（本大题满分25分）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。设BD、CE是的两条中线（如图），证明。5分证明1 作中线AF，则三条中线交于重心G。 10分因为，所以； 15分所以，即。 20分又AF是中线，故。 25分证明2：如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形

5、EDFC是平行四边形，所以. 10分又D、E分别AC、AB的中点，所以DE平行BC，所以B、C、F共线。 所以 15分又 BD=CE，BC=CB所以 20分所以，故AB=AC。 25分2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛一 选择题(每小题7分，共42分)1 若x1，则化简|x1|得(D)Ax1Bx1Cx1Dx12 已知(xa)(xb)x22x1，则ab等于(C)A2B1C1D23 若a0，pq0，则(A)A|pq|qa|B|pq|qa|CD4 已知凸四边形ABCD对角线交于O，满足AOOC，BO3OD，若ADO的面积为1，则凸四边形ABCD的面积为(C)A4B6C8D105 若|a1|a2

6、|3，则a的取值范围是(B)Aa0B0a3C3aD1a26 在凸四边形ABCD中，AC90，B60，AD2CD2，则AB(A)A4B3C6D4二 填空题(每小题7分，共28分)7 如果每人工作效率相同，a个人b天共做c个零件，那么要做a个零件，b个人需要的天数是(用含a、b、c的代数式表示)8 若，则的值为109 两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为10 P为矩形ABCD内的一点，且PA2，PB3，PC4，则PD的长等于三 计算与应用(本题满分20分)11 已知直线ykxb经过点A(1，1)和点B(1，3)，且与x轴、y轴的交点分别为C、D设O

7、为坐标原点，求COD的面积解：由条件知， 5分解得， 10分于是直线为令得，即,令得，即. 15分所以，的面积 20分四 (本大题满分25分)12 在ABC中，A2B，CD是ACB的平分线求证：BCACAD 证明：如图，将A沿CD反射到BC上得， 5分则，故， 15分所以， 20分故 25分五 (本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组若把10从A组转移到B组则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了求两组数原来的平均数解：设A、B两组数原来平均数分别为a、b，A组数原来有m个数则B组数原来有个数根据题意有： 5分由（2）得：由（3）得： 10分（4）、（5）分别代入（1）解得

8、： 15分将分别代入（4）、（5）得： 20分 25分2013年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、的值是（ ）A、4 B、5 C、8 D、9解析：此题利用算术平方根、绝对值、非零数的零次幂的意义，即可解答。答案为A2、若，则（ ）A、-1 B、0 C、1 D、2解析：利用多项式相等，原等式化为，求得，故，答案为B3题图NMOCBA3、如图已知在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，且OMAB，ONAC，若CB=6，则OMN的周长是（ ）A、3 B、6 C、9 D、12解析：利用角平分线性质、平行线性质，可证得BM=OM,CN=ON，由图易得OMN的

9、周长就等于BC的长，故答案为B.4、不等式组的解是（ ）A、 B、C、 D、解析：解不等式组的问题，答案为C5、非负整数满足，则的全部可取值之和是（ ）A、9 B、5 C、4 D、36题图FEMBCDAG解析：由，为非负整数，可知，且，而16可分解为整数相乘的有116、28、44，于是便有，可求得符合条件的只有，答案为D6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则( )6题图FEMBCDAGA、 B、 C、2 D、解析：连结EM，可知由题EF垂直平分AM，所以AE=EM，AE+ED=4，所以EM=4-ED，易知DM=2，在RtEDM中，由勾

10、股定理有,所以，解之，故AE= ，答案为A二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知，则 解析：由根式与有意义，可得，再由非负数和为0可求，132、已知，则= 解析：由已知可知，将两边平方，可得，3、设，则 解析： 将中（1）2（2），就得104题图DBCEA4、如图，在ABC中，AC=BC，且ACB=90，点D是AC上一点，AEBD,交BD的延长线于点E,且，则ABD= 解析：延长AE、BC交于点F, ACB=AEB=90, ADE=BDC，4题图FCBDEAFAC=DBC， 在AFC和BDC中， AFCBDC， BD=AF， 又 E是AF的中点， AEBD BE是AF的垂直平分线，

11、 BE平分ABC，即ABD= AC=BC，且ACB=90 ABC=45 ABD=22.5三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：， 其中.解： 当 四题图DQPBACOyx 原式=四、（本大题满分25分）如图，已知直角梯形OABC的A点在轴上，C点在轴上，OC=6，OA=OB=10，PQAB交AC于D点，且ODQ=90，求D点的坐标.解：连结OB，延长OD交AB于点EA点在轴上，C点在轴上，OC=6，OA=10 C（0,6） A（10，0）设AC直线的解析式为E四题图DQPBACOyx OB=10 BCOA 令 由两点距离公式， PQAB,ODQ=90 又 OA=OB E是AB的中点，由中点

12、坐标公式 得 设OE直线的解析式为 故 由图可知，点D为函数、的交点，D的坐标是方程组的解，解之F五题图NMEDCBA 所以D点坐标为五、（本大题满分25分）如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为AD与BC的中点，连接EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M，求证：BNF=CMF此题解答方法较多，就初二而言，提供以下几种解答方案。方法（一）如五题图（1） 连结AC，取AC的中点G，再连结GE，GF，由中位线定理，GF五题图(1)NMEDCBA GECD，且，GFAB，且BNF=MFG，FEG=CMF又 AB=CD GE=GF MFG=FEG BNF=CMF方法（二）如五

13、题图（2） 作DGAB,且DG=AB，连结BG、CG，取CG的中点H，再连结DH、FH由DGAB,且DG=AB ABGD为平行四边形,令NF与DG交于点KKHGF五题图（2）NMEDCBA可得BNF=MKD F、H分别为BC、CG的中点 FHBG，且 ADBG,且BG=AD, EDFH,且ED=FH EFHD是平行四边形 CMF=CDH MKD=KDH再DG =AB =CD,H是GC的中点 KDH=CDH CMF=MKD GF五题图（3）NMEDCBA BNF=MKD CMF=BNF方法（三）如五题图（3）连结CE并延长CE至G，使CE=GE,再连结GB，GA显然可证CDEGAE,故有CD=G

14、A，CDE=GAE GADC AB=CD GA=AB ABG=AGB CE=GE，BF=CF EFBG, 又GADCGF五题图（4）NMEDCBA AGB=CMF (如果两个角的两条边分别平行，那么这两 个角相等或互补)ABG=BNF BNF=CMF方法（四）如五题图（4）连结DF并延长DF至G，使GF=DF，连结AG、BG F是BC的中点 BGCD是平行四边形即有BGCD，BG=CD又E是AD的中点，GF=DF AGEF BNF=BAG AGEF，BGCD CMF=BGA (如果两个角的两条边分别平行，那么这两 个角相等或互补)再 AB=CD=BG BAG= BGA五题图（5） BNF=CM

15、F方法（五）如五题图(5)作EGAB，且EG=AB，EHDC，且EH=DC，连结BG，CH，GH则四边形ABGE和EHCD都是平行四边形 GEF=BNF HEF=CMFBG=AE,CH=DE BGAE CHDE又 AE=DE BGCH，BG=CHBHCG是平行四边形，即BC、GH互相平分又F是BC的中点五题图（6） F是GH 的中点 EG=AB=DC=EH GEF=HEF然而GEF=BNF HEF=CMF BNF=CMF方法（六）如五题图（6）分别过点D，C作DGAB交EF于点G，CKAB交EF延长线和K因此有BNF=NGD， E是AD的中点，DGAB，所以易证AENDEG AN=DG，同理可证： BN=C