第四章 4.5-4.6.pdf

1、 4.5 用拉普拉斯变换法分析 电路、s域元件模型 主要内容 用拉氏变换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤 微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换 利用元件的利用元件的s域模型分析电路域模型分析电路 一. 用拉氏变换法分析电路的步骤 列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。 求解求解s域方程。域方程。 )()(tfsF ，得到时域解答。，得到时域解答。 二微分方程的拉氏变换 )0()( d )(d fssF t tf L

2、)0()0()( )0(0 d )(d 2 2 2 fsfsFs ffssFs t tf L 我们采用我们采用0-系统求解系统求解瞬态瞬态电路，简便起见，只要知电路，简便起见，只要知 道道起始状态起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的求出元件的s域模型域模型。 。求求 已知已知 tvtv tE tE te RC , 0 0 )( )(te R C )(tvC )(tvR )(tiC 例例4 4- -5 5- -1 1 求起始状态求起始状态(1) EvC 0 0)2( t列方程列方程 换换等式两边取单边拉氏变等式两边取单边拉氏变 )3( ? t

3、vC求求 Etetv t tv RC C C )()( d )(d s E sVvssVRC CCC )()0()( （4）求反变换）求反变换 t tvC E O E RC s s E 1 21 0)( e2)( tEEtv RC t C 所以所以 ;0)(EEtvC充电到充电到的的从从 均可。均可。和和换路定则，采用换路定则，采用 符合符合和和时，其时，其在求在求 00 00 )(tvC RCS RCv s E sV C C 1 )0( )(所以所以 RC ss s RC E 1 1 求 ? tvR )()(d )(1 tetvt R tv C R t R 系统系统也可以采用也可以采用系统系

4、统求解时可以采用求解时可以采用 0 ,0 Evv RR 2)0(, 0)0(1 ）（ )()2(为变量列微分方程为变量列微分方程以以tvR 采用采用0 0- -系统系统 采用采用0 0+ +系统系统 两种方法结果一致。两种方法结果一致。 使用使用0-系统使分析各过程简化。系统使分析各过程简化。 t te t tv tv RC R R d )(d d )(d )( 1 t te t tv tv RC R R d )(d d )(d )( 1 )()()e(tEutEut 因为因为 )(2 d )e(d tE t t 所以所以 EvssVsV RC RRR 2)0()()( 1 00 R v RC

5、 s E sVR 1 2 )( 所以所以 0 e2)( tEtv RC t R 所以所以 (3)对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换 采用0-系统 t tv R E2 O 采用0+系统 EvR20 02)()( 1 EssVsV RC RR 0 d )(d t te 处理处理按按）此时）此时（ 03te (4)原方程取拉氏变换原方程取拉氏变换 t te t tv tv RC R R d )(d d )(d )( 1 三利用元件的s域模型分析电路 1.电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用线性稳态电路分析的各种方法都适用。 ),()(sIti )()

6、(sVtv 0)(0)(:KCLsIti 0)(0)(:KVLsVtv 3.求响应的步骤 画画0- -等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态； 画画s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）； 解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或或I(s)； 拉氏反变换求拉氏反变换求v(t)或或i(t)。 电阻元件的s域模型 )()(sRIsV RR R sV sI R R )( )( 或或 R )(sVR )(sI R tRitv RR 电感元件的s域模型 )0()()( LLL LiLssIsV 利用电源转换可以得到电流源形式的利用电源转换

7、可以得到电流源形式的s域模型：域模型： )0( 1)( )( L L L i sLs sV sI sVL sI L Ls 0 L Li sI L Ls 0 1 L i s sVL t ti Ltv L L d d 电容元件的s域模型 )0( 11 )()( CCC v ssC sIsV 电流源形式：电流源形式： sC 1 0 1 C v s sIC sVC sIC sC 1 0 C Cv sVC t CC ti C tvd 1 )0()()( CCC CvssCVsI 求响应的步骤 画画0- -等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态； 画画s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代数方程

8、）；域方程（代数方程）； 解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或或I(s)； 拉氏反变换求拉氏反变换求v(t)或或i(t)。 例例4-5-2 ? 0 0 )( tvs tE tE te C 域模型求域模型求利用利用 已知已知 )(te R C )(tvC )(tiC )()()(tEutEute EvC ) 0( s E s E sC RsIC 1 )( 列列s域方程域方程: s E R sC 1 )(sVC )(sIC s E sC Rs E sIC 1 2 )( 所以所以 s E sC sIsV CC 1 )()( RC s E s E sVC 1 2 )(

9、0 e1)( tEtv RC t C t tvC E O E 结果同例结果同例4-5-1 例例4 4- -5 5- -3 3 波形求电流电源 闭合，接入直流时开关 ，为下图所示电路起始状态 tiE t , S0 0 S L C R E ti Ls sC 1 R s E sI (1) V00A,00 CL vi起始状态为起始状态为 (2) 域等效模型域等效模型的的st0 (3) 列方程列方程 s E sI Cs sRIsLsI 1 解：解： 极点极点 s E sI Cs sRIsLsI 1 LC s L R s L E sC RLss E sI 1 1 1 2 ：极点极点 2, 1 pp LCR

10、 L R L p 1 22 2 1 LCR L R L p 1 22 2 2 故故 21 1 pspsL E sI 2121 111 pspsppL E 逆变换逆变换 tptp ppL E ti 21 ee 21 设设 LC L R1 , 2 0 则则 回路回路无损耗的无损耗的，第一种情况：第一种情况：LC0 LCQR 2 Q 0 0 回路，回路，的的较小，高较小，高即即第二种情况：第二种情况： 0 第三种情况第三种情况 ，不能振荡，不能振荡较大，低较大，低第四种情况第四种情况QR 0 2 0 2 2 2 0 2 1 p,p 回路回路无损耗的无损耗的，LC0 第一种情况：第一种情况： 01 j

11、p 02 jp tt L E ti 00 jj 0 ee j2 1 t L C E 0 sin 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 第二种情况：第二种情况： LCQR 2 Q 0 0 回路，回路，的的较小，高较小，高即即 引入符号引入符号 2 0 d 所以所以 d j 0 2 d pj 1 d pj 2 tt d dd L E ti jj ee j2 1 t L E d t d sine 就越小，衰减越慢就越小，衰减越慢越小，越小，衰减振荡，衰减振荡，R L R , 2 第三种情况：第三种情况： 0 LC L R1 2 pp 21 表示

12、式为表示式为这时有重根的情况，这时有重根的情况， sI 2 1 sL E sI t L R t t L E L E ti 2 ee 生振荡，是临界情况生振荡，是临界情况越大，阻尼大，不能产越大，阻尼大，不能产R 第四种情况：第四种情况： ，不能振荡，不能振荡较大，低较大，低QR 0 t t t L E ti 2 0 2 2 0 2 eee 2 1 2 0 2 t L E t 2 0 2 2 0 2 sinhe 1 波形波形 Ot ti 0 0 0 0 4.6 系统函数(网络函数)H(s) 系统函数系统函数 LTI互联网络的系统函数互联网络的系统函数 并联并联 级联级联 反馈连接反馈连接 1.定

13、义 一系统函数 sHsEsR 响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 )(th sH te sE tr sR )( )( )( sE sR sH 所以所以 thtetr )()(),()( teLsEtrLsR 其中其中 系统的零状态响应系统的零状态响应时时当当 ,)()(tte )()(thtr )()(sHsR )()(sHthL 则则 2.H(s)的几种情况 策动点函数：策动点函数：激励与响应在同一端口时激励与响应在同一端口时 策动点导纳策动点导纳 )( )( )( 1 1 sI sV sH 策动点阻抗策动点阻抗 单端口单端口 网络网络 sI1 sV1 1 1 双端口双端口 网络网络 sI1

14、 sV1 1 1 sI2 sV2 2 2 )( )( )( 1 2 sV sI sH 转移导纳转移导纳 )( )( )( 1 2 sI sV sH 转移阻抗转移阻抗 )( )( )( 1 2 sV sV sH 电压比电压比 )( )( )( 1 2 sI sI sH 电流比电流比 转移函数：转移函数：激励和响应激励和响应不不在同一端口在同一端口 4.应用：求系统的响应 3求H(s)的方法 )()()()()(thtetrthsH 方法一：方法一： )()()()(trsEsHsR 方法二：方法二： sHth sE sR sH sE sR sH 利用网络的利用网络的s域元件模型图，列域元件模型图

15、，列s域方程域方程 微分方程两端取拉氏变换微分方程两端取拉氏变换 二LTIS互联的系统函数 ththth 21 )()()( 21 sHsHsH )()()( : 21 ththth 时域时域 )()()( : 21 sHsHsH 频域频域 sH1 sH2 sE sR sH1 sH2 sE sR 1LTI系统的并联 2LTI系统的级联 3LTI系统的反馈连接 )()()( 21 sEsEsE )()()( 22 sHsRsE )()()()( 21 sEsEsHsR )()()()( 211 sEsHsEsH )()()()()( 211 sRsHsHsEsH )()(1 )( )( )( )

16、( 21 1 sHsH sH sE sR sH 所以所以 sH1 sH2 sE sR sE1 sE2 4结论 在在s域可进行代数运算：域可进行代数运算： 。，可以求出整个系统的，可以求出整个系统的或或已知子系统的已知子系统的sHsHth ii )()( 。子系统的子系统的 ，也可以求出另一个，也可以求出另一个及部分系统的及部分系统的已知总的已知总的 )( )()( sH sHsH j i 例4-6-1 (1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换 )(6)(2)(6)(5)( 22 ssEsEssRssRsRs 2 4 2 2 2 )( ss s sE s

17、R sH则则 (2) 。和零状态响应和零状态响应，求系统的冲激响应，求系统的冲激响应 ，激励为，激励为已知系统已知系统 )( )()()e1()( d )(d 6 d )(d 2)(6 d )(d 5 d )(d zs 2 2 2 2 trthtute t te t te tr t tr t tr t )()()( zs tethtr )()()( ZS sEsHsR 或或 因为因为 )1( 12 2 2 )( ZS ss s s s sR 1 2 2 6 )1)(2( )12(2 ssss s 所以所以 )(e6)(e2)( 2 ZS tututr tt 所以所以 )(e4)(2)( 2 tutth t 所以所以 例4-6-2 已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和 描述此系统的微分方程。描述此系统的微分方程。 3 1 3 1 1 1 s s s sH 3 1 ssE sR sH sEsRssR 3)()(3 d )(d tetr t tr 所以所以 sE sR s 1 3 例4-6-3 sV1 1 s1s1 1 sI1 sI2 sI 3 。导纳函数导纳函数求下图所示电路的转移求下图所示电路的转移 )( )( )( 1 2 21 sV sI sY 解：解： sV