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1、第四节 多元函数的泰勒公式 与极值问题,多元函数的Taylor公式 无约束极值,最大值与最小值 有约束极值,拉格朗日(Lagrange)乘数法 小 结,一矩形内接于半径为 R 的圆， 求该矩形最大的面积.,x,y,2R,设矩形的长与宽分别为x, y,面积为 S, 则有,问题的实质：求 函数,在约束条件 下的极值,4.3有约束极值, 拉格朗日(Lagrange)乘数法,问题的提出,有约束极值：对自变量有附加条件的极值,f (x, y) 称为目标函数；,(x, y) = 0 称为约束条件。,求函数 f (x, y) 在条件(x, y) = 0下的极值问题，,有时约束条件不止一个，可能由几个方程联合

2、给出。,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题.,例如 ,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,设,例如,条件极值的求法:,故极值点必满足,记,故有,极值点必满足,引入辅助函数,辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 数叫Lagrange乘数.,则极值点满足:,利用拉格朗日函数求极值的方法 称为拉格朗日乘数法.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,例如, 求函数,下的极值.,在条件,作拉格朗日函数,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,再由具体问题确定最值.,例8.,要设计一个容量为,则问

3、题为求x , y ,令,解方程组,解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,解,（1）求函数 在区域 D 内的驻点,（2）求 在边界 上的最值,与D内驻点处的函数值 比较知,分析：椭球面的中心在原点，平面,也过原点，所以椭圆的中心在原点。从而问题 即求椭圆,上的点 到原点的 最大与最小距离。,设 为椭圆上的任一点，它到原点的 距离为,下求 在条件,下的极值。,作函数,解,令,，并将(4) 、(5)两式代入得,即有,将上式分别代入(1) ,(2),(3)得,代入(5)得,解此方程得,因为r 一定存在最大与最小值，所以,分别为所求椭圆的长短半轴。,小 结,有约束极值问题，Lagrange乘数法。,步骤：,（1）由题意确定目标函数与约束条件；,（2）作Lagrang

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