专题07+三角变换及解三角形(易错起源)-高考数学(理)备考黄金易错点+Word版含解析

1、最新 料推荐1. 【 2017 山东，理9】在C 中，角， C 的对边分别为 a ， b ， c 若C 为锐角三角形，且满足 sin 12cosC2sincosCcossinC ，则下列等式成立的是（ A） a 2b（ B） b 2a（ C）2（D）2【答案】 A【解析】 sin( AC ) 2sin B cosC 2sin AcosCcos Asin C所以 2sin B cosCsin AcosC2sin Bsin A2b a ，选 A.2. 【 2017 北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角 与角 均以 Ox为始边，它们的终边关于y 轴对1， cos() =_.称 . 若 sin3

2、7【答案】93. 【 2017 浙江， 14】已知 ABC， AB=AC=4，BC=2点 D为 AB延长线上一点， BD=2，连结 CD，则 BDC的面积是 _，cos BDC=_【答案】15 ,1024【解析】取BC中点 E， DC中点 F，由题意：AEBC , BFCD ， ABE中， cosBE1cos1115ABC，DBC,sin DBC1，AB44164SBC D1BDBCsinDBC15 22又 cosDBC12sin2DBF1 ,sin DBF10，441最新 料推荐cos BDC sin DBF10，4综上可得， BCD面积为15 ， cos BDC10244. 【 2017

3、课标 II ，理 17】ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为a, b, c ，已知 sin A C8sin 2 B ，2（ 1）求 cosB ；（ 2）若 ac 6 ，ABC 的面积为 2，求 b 。【答案】 (1)cos B15； (2) b=217【解析】 b=2（ 1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（ 2）由，故又由余弦定理及得所以 b=2.1. 【 2016 高考新课标2 理数】若 cos(3（）)，则 sin 245（ A） 7（B） 1（C）1（ D）7255525【答案】 D2最新 料推荐327【解析】 cos 22cos 21 21，44525且 cos 24cos

4、22sin 2，故选 D.2. 【 2016 高考新课标 3 理数】若 tan3，则 cos22sin 2（）4(A) 64(B)48(C) 1(D)16252525【答案】 A【解析】由 tan3 ，得 sin3 ,cos4 或 sin3 ,cos4 ，所以45555cos22sin 21641264252525 ，故选 A7. 【 2016 高考天津理数】在ABC中，若 AB= 13,BC=3，C120, 则 AC= （）（ A） 1（ B） 2（ C）3（ D）4【答案】 A【解析】由余弦定理得 139AC 23ACAC1, 选 A.8. 【 2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，

5、若 sin A2sin B sinC ，则 tanA tanB tanC 的最小值是.【答案】 8.【解析】 sin Asin( B+C )2sin B sin Ctan Btan C2tan B tanC ，又 tan A=tan B+ tanC ，因tan B tan C 1-tan A tan B tanCtan A tan BtanC tan A2tan B tan C 22tan A tan B tan Ctan A tan B tanC 8,即最小值为8.9. 【 2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别是a, b, c, 且

6、 cos AcosBsin C .abc（ I ）证明： sin A sin Bsin C ；（ II ）若 b2c2a26 bc ，求 tan B .5【答案】（）证明详见解析； （） 4.3最新 料推荐【解析】2226（）由已知，b +c a =bc，根据余弦定理，有cos A= b2c2a2= 32bc5所以 sin A=1cos2 A =4 5由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以 4 sin B= 4 cos B+3 sin B ，555故 tan B= sin B =4cos B10.【 2016 高考浙江理数】（本题满分14 分）在 ABC

7、中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 b+c=2acosB.（ I ）证明： A=2B；（ II ）若 ABC的面积 S= a2 ，求角 A 的大小 .4【答案】（I ）证明见解析； （ II ）或24【解析】（）由正弦定理得sin Bsin C2sin AcosB ，4最新 料推荐故 2sin A cosB sin Bsin A B sin B sin A cosBcos Asin B ，于是 sin sin A 又，B 0, ，故0 A B B A B或B A B，所以因此AA2B，（舍去）或所以， A2B （）由 Sa2得1 ab sin Ca2，故有 sin B sin

8、C1 sin 2B sin B cos B ，4242因为 sin B0 ，所以 sin CcosB 又 B ， C0, ，所以 CB 2当 BC时， A；22当 CB时， A24综上， A或 A24易错起源1、三角恒等变换3例 1、 (1)已知 为锐角，若 cos 6 5，则 cos 26 _.510(2) 已知 sin 5 ， sin( ) 10 ， ， 均为锐角，则角 等于 ()5A. 12B. 3C. 4D. 624答案(1)(2)C25 3解析 (1) 因为 为锐角， cos( 6 ) 50，所以 为锐角， sin( ) 4，66543 24则 sin(23 ) 2sin( 6 )c

9、os(6 ) 2 5525.又 cos(2 6 ) sin(2 3 ) ，5最新 料推荐 24 所以 cos(2 6 ) 25.(2) 因为 ， 均为锐角，所以 2 2 .10又 sin( ) ，10310所以 cos( ) 10 .525又 sin 5 ，所以 cos 5 ，所以 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin( )531025102 5 10 5 ( 10 ) 2 .所以 4 .(1) 已知 sin7 2， cos2 7，则 sin 等于 ()【变式探究】 410254433A. 5B 5C 5D.531(2) cos10 sin170 等于 ()A 4B 2

10、C 2D 4答案(1)D(2)D 7 2解析 (1) 由 sin 4 10 ，得 sin cos4 cos sin 4 7102，7即 sin cos 5，7227又 cos2 25，所以 cos sin 25，7即 (cos sin ) (cos sin ) 25，1因此 cos sin 5. 3由得sin ，故选 D.56最新 料推荐(2)3131cos10 sin170 cos10sin10 3sin10 cos10sin10 cos1012sin20 2sin20 1 4，sin20 2故选 D.【名师点睛】(1) 三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角

11、恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2) 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解【锦囊妙计，战胜自我】1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1) 常值代换：特别是“ 1”的代换，1 sin 2 cos2 tan45 等；(2) 项的分拆与角的配凑：如 sin 2 2cos 2 (sin 2 cos 2) cos 2， ( ) 等；(3) 降次与升次：正用二

12、倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4) 弦、切互化：一般是切化弦易错起源2、正弦定理、余弦定理1例 2、(1)(2016 课标全国丙) 在 ABC中， B 4， BC边上的高等于3BC，则 cos A等于 ()3101010310A.10 B. 10 C 10 D 10(2)(2015北京 ) 在中， 3，6， 2，则 _.ABCabA3B答案(1)C(2) 4解析(1) 设 ABC中角 A， B， C所对的边分别为a， b， c，1112则由题意得S ABC 2a 3a2acsin B， c 3 a.由余弦定理得22c2 2cosBbaac7最新 料推荐a2 2 22 2 252，9aa3

13、 a29ab5.3 a522 22cos Ab2 c2 a29a9a a102bc52 10 .2 3a 3 a故选 C.6sin2sinA32(2)sin Bb 2 ，由正弦定理得a 3因为A为钝角，所以 .B4【变式探究】如图，在ABC中， D是 BC上的点， AD平分 BAC， ABD面积是 ADC面积的 2 倍sin B(1) 求；sin C2(2) 若 AD1， DC 2 ，求 BD和 AC的长(2) 因为 S ABD S ADC BDDC，所以 BD 2.在 ABD和 ADC中，由余弦定理知222AB AD BD2AD BDcos ADB，222AC AD DC2AD DCcos

14、ADC.8最新 料推荐22222故 AB 2AC 3AD BD2DC 6，由 (1) 知 AB 2AC，所以 AC 1.【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【锦囊妙计，战胜自我】abca1正弦定理： 在 ABC中，sin Asin B sin C 2R( R为 ABC的外接圆半径 ) 变形： a 2Rsin A，sin A2R， a b csin Asin Bsin C等2余弦定理：在 ABC中，2b2c2 2 cos ；a

15、bc A变形： b2c2 a2 2bccosA， cos Ab2c22a.2bc易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例 3(2015 山东 ) 设 f ( x) sin xcosx cos 2x .4(1) 求 f ( x) 的单调区间；A(2) 在锐角 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c. 若 f 2 0， a 1，求 ABC面积的最大值解 (1) 由题意知 f ( x) sin2 x 1 cos 2x 222sin2 x1 sin2 x122 sin2 x2.由 2 2 2k， Z，2kx2k可得4 k x 4 k， k Z；3由 2 2k2x2 2k， k Z，

16、3可得4 k x 4 k ，k Z.所以 f ( x) 的单调递增区间是 k， k ( kZ) ；44单调递减区间是 k ， 3k ( k Z) 449最新 料推荐(2) 由 fAA1 0，得 sinA 1， sin222由题意知A3为锐角，所以 cos .A2由余弦定理 a2 b2 c22bccos A，可得 1 3bc b2 c22bc，即 bc23，且当 b c 时等号成立因此1sin2 3.2bcA4所以 ABC面积的最大值为23.4【变式探究】已知函数f ( x) cos 2x23sin xcos x sin 2x.(1) 求 f ( x) 的最小正周期和值域；A2(2) 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是