2012全品高考复习方案教师手册（理）第7单元-立体几何-人教A版.ppt

1、人教A版,本课件为“逐字编辑”课件，使用时欲修改课件，请双击对应内容，即可进入可编辑状态。 在此状态下，如果有的公式双击后无法用公式编辑器编辑，请选中此公式，点击右键、“切换域代码”，即可进行编辑。修改后再点击右键、“切换域代码”，即完成修改。 如有疑问欢迎致电使用说明,目录,第36讲 空间几何体的直观图和三视图 第37讲 空间几何体的表面积和体积 第38讲 空间点、直线、平面之间的位置 关系 第39讲 空间中的平行关系 第40讲 空间中的垂直关系 第41讲 空间向量及运算 第42讲 空间向量解决线面位置关系 第43讲 空间角与距离的求法,第七单元立体几何,第七单元

2、立体几何,第七单元 知识框架,第七单元 知识框架,第七单元 考纲要求,1空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求),第七单元 考纲要求,(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)

3、 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行,第七单元 考纲要求,定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 理解以下判定定理： 如果平面外

4、一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直,第七单元 考纲要求,理解以下性质定理，并能够证明： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任何一个平面与此平面的交线和该直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 (3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形

5、的位置关系的简单命题 3空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意,第七单元 考纲要求,义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 4空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量 (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用,

6、第七单元 命题趋势,立体几何是中学数学的主干知识之一，侧重考查空间想象能力和推理计算能力，纵观近三年新课标省市的高考试题中，立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定，其考查的热点内容有以下几个特点： 1从考查形式看，一般有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，分值为22分左右，约占总分值(150分)的15 % ；涉及立体几何内容的命题形式最为多变，填空题尝试设计成多选填空、完形填空、构造填空等题型，以及开放性问题和多选题 2从考查内容看，一是以客观题来考查空间几何体的概念与性质、线面关系的判定、表面积与体积、三视图与直观图等，,第七单元 命题趋势,其中线面位置关系的判定又常与

7、命题、充要条件等有关知识融合在一起进行考查，在几何体表面积与体积为载体的试题中渗透函数、方程等数学思想方法；二是解答题以空间几何体为载体，考查立体几何的综合问题主要是位置关系的判定、空间角与距离的计算，一般都可用几何法和向量法两种方法求解 预测2012年新课标高考，对立体几何考查的知识点及试题的难度，会继续保持稳定，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及几何体的表面积与体积的计算，应用空间向量处理空间角与空间距离；而三视图作为新课标的新增内容，主要形式是在三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积的计算，也可能会出现在解答题中与其他知识点交汇与综合,1编写意图 本单元内容是必修2立体几

8、何初步和选修21空间向量与立体几何两部分内容的整合，在高考试题中以中、低档题的形式出现，因此，编写时主要考虑以下几方面： (1)本单元公理、定理较多，编写时注重从文字、符号、图形这三方面进行分析，并通过典型例题达到熟练掌握及应用； (2)空间想象能力是学习立体几何的最基本的能力要求，选择例题时注重培养学生识图、作图、理解与应用图的能力；,第七单元 使用建议,(3)对本单元的重点内容是空间线面的平行与垂直、空间角的计算，第39、40讲专题讲解，还在第42讲中讲解应用空间向量解决线面位置关系，第43讲研究空间角与距离的求法 2教学指导 立体几何主要是培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语

9、言进行交流的能力以及几何直观能力，本单元重点是空间的元素之间的平行与垂直关系、空间几何体的表面积与体积，并关注画图、识图、用图的能力的提高，在复习时我们要注重以下几点： (1)立足课标，控制难度新课标对立体几何初步的要求，改变了经典的“立体几何”把推理论证能力放在最突出的位置，,第七单元 使用建议,从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重，切忌盲目拔高 (2)注重提高空间想象能力在复习过程中，要注重将文字语言转化为图形，明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与

10、计算 (3)归纳总结，规范训练复习中要抓主线，攻重点，针对重点内容加以训练，如平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心；要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如转化与化归思想，,第七单元 使用建议,熟练将空间问题转化成平面图形来解决，以及线线、线面、面面关系的相互转化；要规范例题讲解与作业训练，例题讲解要重视作、证、求三环节，符号语言表达要规范、严谨另外，适度关注对平行、垂直的探究，关注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究 (4)在空间角和距离的求解和位置关系的判定中，体会空间向量这一工具的巨大作用 3课时安排 本单元共8讲和一个滚动基础训练卷，一个

11、单元能力训练卷，每讲建议1课时完成，基础训练卷和单元能力训练卷都建议1课时完成，共需10课时,第七单元 使用建议,第36讲 空间几何体的直观图和三视图,第36讲空间几何体的直观图 和三视图,第36讲 知识梳理,BCDEABCDE,AC,SABCDE,SAC,ABCDEABCDE,AC,三棱柱,四棱柱,五棱柱,三棱锥,四棱锥,五棱锥,三棱台,四棱台,五棱台,1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征,第36讲 知识梳理,平行,平行四边形,平行,多边形,三角形,底面,截面,平行且相等,一点,一点,平行四边形,三角形,梯形,第36讲 知识梳理,OO,2.圆、圆锥、圆台和球的结构特征,SO,OO,O,圆,圆面,圆

12、面,圆心,垂直,顶点,圆心,垂直,圆心,垂直,球心,第36讲 知识梳理,垂直,一点,一点,矩形,等腰三角形,等腰梯形,大圆,矩形,扇形,扇环,第36讲 知识梳理,3.三视图与直观图,正投影,完全相同,正前方,正左方,正上方,正视图,侧视图,俯视图,正视图,下方,长度,正视图,高度,宽度,第36讲 知识梳理,斜二测,45或135,平行于,不变,原来的一半,平行于,不变,探究点1空间几何体的结构特征,第36讲 要点探究,例1 下列是关于空间几何体的四个命题中， 由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形， 其他各面是矩形的几何体是六棱柱； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是

13、 棱锥； 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台； 棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥 其中正确命题的个数是() A0 B1 C2 D3,第36讲 要点探究,例1 思路 要判断几何体的类型，应从各类几何体的结构特征入手，结合棱锥、正棱锥的概念及相关性质，逐一进行考查 B解析 是正确的，如图1所示，该几何体满足有两个面互相平行，其余六个面都是矩形，则每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是六棱柱(如图1)； 是错误的，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥(如图2)；,第36讲 要点探究,是错误的，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定

14、是棱台(如图3)； 是错误的，如图4所示，ABBCCDDA，ACBD，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥故选B.,第36讲 要点探究,点评 准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键；另外，要断定命题为假时，还可以构造反例，或借助于周围的实物判断下面变式题复习旋转体的结构特征以及其截面的形状,第36讲 要点探究,以下有4个命题： 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是球； 以三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为()

15、 A0 B1 C2 D3,变式题,第36讲 要点探究,思路 求解决平面图形绕轴旋转问题的切入点是，对原平面图形作适当的分割，再根据圆锥、圆柱、圆台、球的结构特征进行判断；解决截面问题的关键是，熟悉旋转体各个方向的截面形状,变式题,第36讲 要点探究,B解析 根据球、圆柱、圆锥、圆台的概念不难判出： 是正确的，当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面；,第36讲 要点探究,是错误的，当以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥，如图(1)、(2)所示，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥； 是错误的，只有以

16、直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆台； 是错误的，只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和圆台故选B.,第36讲 要点探究,探究点2空间几何体的三视图,第36讲 要点探究,例2 思路本题可由实物图画出三视图，画几何体的三视图时，可见的轮廓线和棱用实线画出，不能看见的轮廓线用虚线表示；画图时，先确定几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置 D解析 设AAa，则BB2a，CC3a，先画AB及AA、BB的位置，可排除A、C；由ABC是正三角形，且棱CC被遮挡，可排除B，故选D.,第36讲 要点探究,探究点3空间几何体的直观图,例3已知正三角形ABC的边长为1，那么ABC的平面直观图

17、ABC的面积为_,例3 思路本题的切入点是按照斜二测画法的规则，画出正三角形的直观图，求出ABC底边上的高，再求其面积,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,变式题,2010扬州模拟 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图363所示的一个正方形，则原来的图形是(),第36讲 要点探究,变式题,思路根据斜二测画法规则，将直观图还原时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为直观图中对应线段长度的2倍，即得到原来的图形 A解析 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 ，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 .,第36讲 要点探究,

18、探究点4三视图、直观图的综合应用,第36讲 要点探究,例4 思路本题给出的空间几何体是一个正四棱锥和长方体组成的简单组合体，可由直观图得到侧视图的形状；再由已知的正视图和俯视图的数量关系知道，侧视图和正视图是完全相同的，且几何体的数量关系可知，故体积可求,第36讲 要点探究,点评 本题与实际问题相结合，体现了数学的应用性，作图题要规范准确，不要忘记标出有关数据求体积时注意把不规则几何体割补成规则几何体本题求体积时，应用“长对正，宽相等，高平齐”得出有关数据是关键,第36讲 要点探究,2010辽宁卷 如图366所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长

19、的一条棱的长为_,变式题,第36讲 要点探究,变式题,思路 本题可以利用几何体的三视图与直观图之间的关系，解题的切入点可先将三视图还原，画出直观图，再利用网格线给出的长度求解 解析 由已知的三视图还原为直观图后的几何体是四棱锥VABCD(如图所示)，满足VA平面ABCD；根据题目中给出的方格长度，可以求得四棱锥VABCD的底面是边长为2的正方形，且四棱锥的高为2，所以这个多面体最长的一条棱VC的长为 .,第36讲 规律总结,1几类特殊的多面体及它们之间的关系,第36讲 规律总结,2柱体(圆柱与棱柱)、台体(圆台与棱台)、锥体(圆锥与棱锥)的联系 3由几何体的三视图判断原物体的形状 由几何体的三

20、视图来判断原物体的形状时的一般规律为：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可见，正视图和侧视图的形状确定原几何体为柱体、锥体还是台体；俯视图确定原几何体为多面体还是旋转体,第36讲 规律总结,4用斜二测画法画立体图形的直观图 用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤是：一画轴，二画底，三画高，四成图；其中，关键是要根据图形的特点选取适当的坐标系，尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上，这样可以简化作图步骤，对于图形中平行于y轴的线段画直观图时要画成原来长度的一半，对于图形中与x轴、y轴和z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决,第37讲 空间几何体的表面积和体积,第37讲空间几何体的表

21、面积 和体积,第37讲 知识梳理,1柱体、锥体、台体的表面积 (1)多面体的表面积 我们可以把多面体展成_，利用_求面积的方法，求多面体的表面积； 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_之和，表面积是_之和，即_与_之和,平面图形,平面图形,侧面面积,各个面的面积,侧面积,底面积,第37讲 知识梳理,(2)旋转体的表面积公式,2rl,2r22rl,2r(rl),rl,r2rl,r(rl),第37讲 知识梳理,(rr)l,(r2r2rlrl),4R2,第37讲 知识梳理,2.柱体、锥体、台体的体积 (1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V_； (2)设棱(圆)

22、锥的底面积为S，高为h，则体积V_； (3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为S、S，高为h，则体积V_； (4)设球半径为R，则球的体积V_. 注：对于一些不规则几何体，常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体求体积,Sh,第37讲 要点探究,探究点1空间几何体的表面积和体积的计算,例1 (1)2010安徽卷 一个几何体的三视图如图371所示，该几何体的表面积是() A372 B360 C292 D280,第37讲 要点探究,(2) 一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图372所示，则容器的容积为(),第37讲 要点探究,例1（1）思路解题的切入点是把三视图还原为直观图，把三视图

23、中的条件转化为直观图的条件，根据各面的特征分别求面积，再求表面积 B解析 由三视图可知，该几何体是由两个长方体构成的组合体，上面的长方体的长为6、宽为2、高为8；下面的长方体的长为10、宽为8、高2，所以该几何体的表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的4个侧面积之和，即 S(10810282)2(8682)2360，故选B.,第37讲 要点探究,(2)思路 由三视图判断容器的形状是一个倒置的圆锥，根据三视图的条件可以确定容器的半径与高，代入体积公式求解 A 解析 由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆锥(如图)，轴截面是等腰三角形，其底面的半径为1，高为2，故容器的体积为,第37讲 要点探

24、究,点评 在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积是高考新课标卷的热点题型，解题的关键是由三视图确定直观图的形状，以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用表面积公式求解；另外，组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错误下面变式题是旋转体的表面积的计算问题：,第37讲 要点探究,如图373所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积,变式题1,第37讲 要点探究,变式题1,思路 (1)有关球的计算的关键是求出半径，球外接于正四棱柱，正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线长等于球的直径 解答 (1)设正四棱柱的底边长为a， 则VSha2ha241

25、6， a2. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的顶点都在球面上，过相对的侧棱AA1、CC1及球心O作截面，对角线AC1就是球的直径，设球的半径为R，则,第37讲 要点探究,已知某几何体的俯视图是如图374所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S.,变式题2,第37讲 要点探究,变式题2,解答 由已知三视图的条件可得，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左右侧面均为底边长

26、为6、高为h2的等腰三角形(如图四棱锥PABCD所示),探究点2空间几何体中的最值问题,第37讲 要点探究,例2 2010全国卷,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,变式题,2011宝山调研 如图375，已知正四棱锥PABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h. 试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值,第37讲 要点探究,变式题,第37讲 要点探究,探究点3 展开与折叠问题,第37讲 要点探究,例3 如图376所示，已知圆锥SO中，底面半径r1，母线长l4，M为母线SA上的一个点，且SMx，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到

27、点A，求： (1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,变式题,2010福州模拟 如图377所示，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点A，则三棱锥ADCE的外接球的体积为(),第37讲 要点探究,变式题,第37讲 规律总结,1柱、锥、台体的侧面积和表面积都是利用展开图得到的，必须熟悉其侧面展开图的形状,第37讲 规律总结,第37讲 规律总结,第37讲 规律总结,第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系,第38讲空间

28、点、直线、平面之间 的位置关系,第38讲 知识梳理,1平面的概念及其表示 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平面等)抽象出来的，平面有两个特征：_，即平面是无边界且无限延展的；_，即平面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起，仍然是一个平面，平面是无所谓面积的 一个平面把空间分成两部分，平面上的一条直线把平面分成两部分,无限延展,平的(没有厚度),第38讲 知识梳理,(2)平面的表示法 通常画_表示平面(如图381)，平面可用小写希腊字母表示，如_、平面；或用表示平行四边形的顶点的大写英文字母表示，如_、_.,平行四边形,平面,平面AC,平面ABCD,第38讲 知

29、识梳理,两点,2平面的基本性质,不在,三点,第38讲 知识梳理,不重合,一个,第38讲 知识梳理,注：公理2有以下三个推论,一条直线和直线外一点,相交直线,平行直线,第38讲 知识梳理,3.空间直线与直线的位置关系,一个,没有,任何一个,没有,第38讲 知识梳理,4.平行直线 (1)公理4(平行公理)：平行于同一条直线的_ 用符号表示为：ab，bcac. 由公理4可知，空间平行线具有_公理4的结论与平面几何中的相关结论相同，是平面几何中结论的推广，是判定空间两条直线_的依据 (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ 5.异面直线 (1)定义： _的两条直线叫做异面直线

30、,两条直线互相平行,传递性,平行,相等或互补,不同在任何一个平面内,第38讲 知识梳理,(2)性质：两条异面直线既不_也不_ (3)异面直线所成的角 已知异面直线a、b，在空间任取一点O，过O作_ _，则a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 异面直线所成的角的范围：_. 如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线_两条互相垂直的异面直线a、b，记作_.,相交,平行,aa，,锐角,直角,互相垂直,ab,bb,第38讲 要点探究,探究点1空间点、线、面位置关系的判定,例1 如图382，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由 (1)直线AC

31、1在平面CC1B1B内； (2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分 别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1； (3)由点A、O、C可以确定一个平面； (4)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1； (5)若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上,第38讲 要点探究,例1 思路 利用平面的基本性质进行判断 解答 (1)错误若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B， 则A平面CC1B1B，且B平面CC1B1B， AB平面CC1B1B，与AB平面CC1B1B矛盾； (2)正确因为O、O1是两平面的两个公

32、共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1； (3)错误因为A、O、C三点共线； (4)正确因为A、C1、B1不共线，A、C1、B1三点确定一个平面，,第38讲 要点探究,点评平面的基本性质是判断线面关系的依据，在判断过程中可适当利用图形以及构造特例，如下面的变式,又AB1C1D为平行四边形，AC1、B1D相交于O2点，而O2，B1， B1O2，而DB1O2，D； (5)正确若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上,第38讲 要点探究,变式题,下列命题： 空间中不同的三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三

33、条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是_,思路本题可根据平面的基本性质进行判断，要注意条件的严密性，可通过举反例来判断命题的真假可利用公理直接作出判断，注意与平面几何的区别 解析 由公理2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题均错，中有可能出现两平面只有一条公共线,变式题,第38讲 要点探究,(当这三个公共点共线时)空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面；若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，

34、如图所示. 如图四边形ADBC中，ADDBBCCA，但它不是平行四边形，所以也错. 正确的命题只有.,第38讲 要点探究,探究点2三点共线与三线共点问题,例2 如图383所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线,第38讲 要点探究,例 2思路 要证明B、D、O三点共线，可用公理3证明这三点是平面ABD与平面BCD的公共点，则这三点都在这两个平面的交线上 解答 EAB，HAD， E平面ABD，H平面ABD，EH平面ABD. EHFGO，O平面ABD， 同理可证O平面BCD， O平面ABD平面BCD，即OBD，

35、所以B、D、O三点共线,第38讲 要点探究,点评 证明点共线的依据是公理3，其方法是找出这些点所在的两个平面，说明各个点都是这两个平面的公共点，则这些点必在这两个平面的交线上；另外，证明三线共点的依据也是公理3，可证明其中两直线的交点在第三条直线上，把问题归结为证明点在直线上的问题，而第三条直线是经过这两条直线的两平面的交线，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上下面变式题就是三线共点的问题：,第38讲 要点探究,变式题,两个不全等的三角形ABC、A1B1C1不在同一平面内，如图384所示，A1B1AB，B1C1BC，C1A1CA，求证：AA1、BB1、CC1交于一点,第38讲 要点探究,思路

36、 先证明两直线的交点在两平面的交线上，而第三条直线恰好是两个相交平面的交线 解答 因为A1B1AB，所以A1B1与AB确定平面， 因为B1C1BC，所以B1C1与BC确定平面， 因为C1A1CA，所以C1A1与CA确定平面， 又ABC与A1B1C1不全等，所以有两条对应边不相等， 设ABA1B1， 由于AA1，BB1，则AA1与BB1必相交于P点， 因为BB1，所以P；因为AA1，所以P， 于是P在、的交线上，又CC1，即PCC1， 所以C、C1、P三点共线， 因此，AA1、BB1、CC1交于一点P.,变式题,第38讲 要点探究,探究点3 点线共面问题,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,

37、第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,探究点4 异面直线所成的角,例4 2010全国卷 如图386所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于() A.30 B.45 C.60 D.90,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,高考命题者说 【考查目标】 本题考查直三棱柱的概念、异面直线所成角的概念和求解方法，综合考查考生的空间想象能力和运算求解能力 【命制过程】 本题以直三棱柱为载体，既面向全体考生，又为考生提供多个解决问题的切入点 【解题思路】 思路1如图(1)，建立空间直角坐标系设AB1，则有,第38讲 要点

38、探究,第38讲 要点探究,思路2如图(2)所示，将直三棱柱ABCA1B1C1嵌入正方体中，则AC1E60为异面直线BA1与AC1所成的角 【试题评价】 试题以直三棱柱为载体，面向全体考生，突出对异面直线所成角的概念的理解，为多种求解方法的使用提供了操作平台，使考生灵活运用数学知识和方法解决实际问题的能力得到体现 (引自高等教育出版社2011年大纲版的高考文科试题分析第95页第6题),第38讲 要点探究,变式题,2010湖南卷 如图387所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值,第38讲 要点探究,变式题,第38

39、讲 规律总结,1公理的作用 公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其3个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据 2证明三点共线及三线共点的方法 证三点共线及三线共点，都要转化为证明点在直线上，而要证明点在直线上，可分别证点在两个平面内，从而在两个平面的交线上,第38讲 规律总结,3证明点线共面的常用方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合 4求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直

40、线，把异面问题转化为共面问题来解决其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平移；中位线平移,第39讲 空间中的平行关系,第39讲空间中的平行关系,第39讲 知识梳理,1空间中直线和平面的位置关系,a,无数个,a,没有,aA,a,一个,第39讲 知识梳理,2空间中两个平面的位置关系,没有,l,a,直线,第39讲 知识梳理,3直线与平面平行的判定与性质,没有公共点,一条直线与此平面,内的一条直线,交线,平行,第39讲 知识梳理,4平面与平面平行的判定与性质,相交直线,相交直线,同一条直线,第39讲 知识梳理,平行,交线

41、,第39讲 要点探究,探究点1平行的判定,例1 2010福州质检 已知三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B1和BC的中点，连接MN，AM，AN. 求证：MN平面ACC1A1.,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,变式题,2010陕西卷 如图392所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点 (1)求证：EF平面PAD； (2)求三棱锥EABC的体积V.,第39讲 要点探究,变式题,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,例2 如图393所示，正三棱柱ABCA1B1C1中

42、，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点 求证：平面A1EF平面BCGH.,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,探究点2 平行的性质,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,探究点3平行关系的综合应用,例4 三如图395所示，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PABC1，截面EFGH分别平行于PA、BC(点E、F、G、H分别在棱AB、AC、PC、PB上) (1)求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值； (2)设PA与BC所成的角为，求四边形EFGH的面积的最大值,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 规律总结,1运用直线与平面平

43、行的判定定理的关键是寻找该平面内的平行直线，证两直线平行是平面几何的问题，体现了空间问题平面化的思想；判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理，二是线面平行定义，三是面面平行的性质定理 2要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题应注意辅助线或辅助平面不能随意添加，必须以某一性质或定理为依据，并关注辅助线或辅助平面的自身性质特点,第39讲 规律总结,3运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立；证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面 4平面与平面的平行也具有传递性 5平行关系的相互转化,第40讲

44、 空间中的垂直关系,第40讲空间中的垂直关系,1直线与直线垂直 定义:两条直线所成的角为_，则称两直线垂直，包括两类:_垂直与_垂直 2直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l和平面内的_都垂直，就称直线l和平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_,异面,相交,90,任意一条直线,垂线,垂面,第40讲 知识梳理,第40讲 知识梳理,(2)直线与平面垂直的判定与性质,两条相交直线,一条,另一条直线,任意一条直线,平行,第40讲 知识梳理,3直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角如图401所示，PAO就是斜线PA和平

45、面所成的角,(2)一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_的角 直线和平面所成的角的范围是_,射影,锐角,直角,0,图401,第40讲 知识梳理,4二面角 定义：从一条直线出发的两个_所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的_，这两个半平面叫做二面角的_ 如图402所示，在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作_于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做_,半平面,棱,面,垂直,二面角l的平面角,图402,二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值范围是_，平面角是直角的二面角叫做_,0，,直二面角,5

46、两个平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直,直二面角,第40讲 知识梳理,(2)两个平面垂直的判定和性质,直二面角,垂线,二面角的平面角,交线,另一个平面,AOB90,AOB90,第40讲 知识梳理,探究点1垂直关系的判定,第40讲 要点探究,例1 如图403所示RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点 (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,图403,第40讲 要点探究,例1思路 证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线线垂直，考虑题中等腰三角形的条件，可由底边上的中线和三角形中位线得到,第4

47、0讲 要点探究,解答 (1)取AB中点E，连接SE，DE. 在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点， 故DEBC，且DEAB， SASB， SAB为等腰三角形， SEAB. DEAB，SEDEE， AB面SDE. 而SD面SDE， ABSD. 在SAC中，SASC， D为AC的中点， SDAC. 又 SDAB，ACABA， SD平面ABC. (2)若ABBC，则BDAC. 由(1)可知SD面ABC，而BD面ABC， SDBD. SDACD， BD平面SAC.,2010北京卷 如图404所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直EFAC，AB ，CEEF1. (1)求证：AF平

48、面BDE； (2)求证：CF平面BDE.,第40讲 要点探究,变式题,图404,第40讲 要点探究,思路 (1)要证明AF平面BDE，只需构造平行四边形，证明AF与平面BDE的一条直线平行；(2)证明CF平面BDE，可利用菱形的对角线垂直，以及由面面垂直转化线面垂直，又线线垂直，得到CF与平面BDE的两条相交直线垂直,变式题,解答 (1)设AC与BD交于点G. 因为EFAG，且EF1，AG AC1. 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AFEG. 因为EG平面BDE，AF平面BDE， 所以AF平面BDE. (2)连接FG. 因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形， 所以C

49、FEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC. 又因为平面ACEF平面ABCD， 且平面ACEF平面ABCDAC， 所以BD平面ACEF. 所以CFBD. 又BDEGG，所以CF平面BDE.,第40讲 要点探究,例2 2010课标全国卷 如图405所示，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 (1)求证：平面PAC平面PBD； (2)若AB ，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积,图405,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,2010山东卷 在如图406所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分

50、别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA. (1)求证：平面EFG平面PDC； (2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比,变式题,图406,第40讲 要点探究,思路 (1)利用线面垂直，得BCPD，从而把证明平面EFG平面PDC，转化为证明BC平面PDC即可(2)通过ADPD2MA和正方形ABCD的性质找出题中线段之间关系并分别求出三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积，最后求比值,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,探究点2垂直关系的性质,例3 2010江苏卷 如图407所示，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90. (1

51、)求证：PCBC； (2)求点A到平面PBC的距离,图407,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,2009福建卷 如图408所示，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD. (1)求证：ABDE； (2)求三棱锥EABD的侧面积,变式题,图408,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,探究点3垂直关系的综合应用,例4 2010陕西卷如图409所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2 ，E，F分别是AD，PC的中点 (1)求证：PC平面BEF； (2)求

52、平面BEF与平面BAP夹角的大小,图409,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,2010温州模拟 如图4010所示，直角BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，PA平面ABC，DCBC2PA，E、F分别为DB、CB的中点 (1)求证：AEBC； (2)求直线PF与平面BCD所成的角,变式题,图4010,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,第40讲 规律总结,1两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，而后者常被人忽略；线面垂直是线面相交的一种特殊情形，面面垂直是面面相交的一种特殊情形，而这两类垂直常被误以为是线面(或面面)位置关系中的一种 2线面垂直

53、判定定理可以简单地记为“线线垂直线面垂直”，是证明线面垂直的常用方法，证明线面垂直的方法有：线面垂直的定义；线面垂直的判定定理；两条互相平行的直线的性质,第40讲 规律总结,3证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法，与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化的思想方法是解决这类问题的关键,第40讲 规律总结,4空间垂直关系之间的转化这也是立体几何中证明垂直关系常用的思路，三种垂直关系的转化可结合下图记忆,第41讲 空间向量及运算,第41讲空间向量及运算,第41讲 知识梳理,两

54、两垂直,1空间直角坐标系及有关概念 (1)如图411, OABCD1A1B1C1是单位正方体，以O为原点，分别以OA，OC，OD1的长为单位长度，建立三条_的数轴：x轴，y轴，z轴，则称建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做_，x轴，y轴，z轴叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做_,坐标原点,坐标轴,坐标平面,(2)空间一点M在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_,横坐标,纵坐标,竖坐标,第41讲 知识梳理,2空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循_，数乘运算和数量

55、积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标 3空间向量的数量积及运算律 (1)定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作_ 已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的_，记作ab.即_|a|b|cosa，b,三角形法则或平行四边形法则,数量积,ab,第41讲 知识梳理,p=xa+yb+zc,基底,基向量,第41讲 知识梳理,(2)空间向量的正交分解 如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组x，y，z，使得pxiyjzk.我们称xi，

56、yj，zk为向量p在i，j，k上的_ (3)空间向量的坐标 设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，对于空间任一向量p，存在有序数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作_此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标_,分向量,p=(x,y,z),(x,y,z),第41讲 知识梳理,5空间向量的坐标表示及应用 (1)空间向量运算的坐标表示 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则ab(a1b1，a2b2，a3b3)， ab(a1b1，a2b2，a3b3)， a(a1，a2，a3)， aba1b1a2b2a3b3. (2)重要结论 ababa1b1，a2b2，a3b3(R，b0)；,第41讲 知识梳理,第41讲 知识梳理,探究点1空间向量的线性运算,第41讲 要点探究,图412,第41讲 要