测量误差及数据处理的基本知识..ppt

1、测 量 学第5章 测量误差及数据处理的基本知识,第5章 测量误差及数据处理的基本知识 5.1 概述 5.2 测量误差的种类 5.3 偶然误差的特性及其概率密度函数 5.4 衡量观测值精度的指标 5.5 误差传播定律 5.6 同精度直接观测平差 5.7 不同精度直接观测平差 5.8 最小二乘法原理及其应用,测量与观测值,观测与观测值的分类, 观测条件, 等精度观测和不等精度观测, 直接观测和间接观测, 独立观测和非独立观测,5.1 测量误差概述,5.1 测量误差概述, 测量误差及其来源, 测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验

2、等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等, 测量误差的表现形式, 测量误差（真误差=观测值-真值）,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。, 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校),测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差,5.2 测量误差的种类,1.粗差(错误)超限的误差,3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同

3、， 表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。, 准确度(测量成果与真值的差异）, 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）, 测量平差（求解最或是值并评定精度）,4.几个概念:, 精（密）度（观测值之间的离散程度）,举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,5.3 偶然误差的特性,用频率直方图表示的偶然误差统计：,频率直方图的中间高、两

4、边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,图5-1 误差统计直方图,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,3.偶然误差的特性,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小 (d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性

5、。,图5-1 误差统计直方图,1.方差与标准差,x=,y,正态分布曲线(a=0),令： ，上式为：,5.4 衡量精度的指标,标准差 的数学意义, 表示的 离散程度,x=,y,较小,较大,称为标准差：,测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。,中误差:,观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：,P123表5-2, m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：, m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。,2.容许误差(极限误差),3.相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测

6、量之比。,用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,K2K1，所以距离S2精度较高。,一.一般函数的中误差,令 的系数为 ， (c)式为：,5.5 误差传播定律,对Z观测 了k次， 有k个式,(d),由偶然误差的抵偿性知：,(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：,即,(h),(h),考虑 ，代入上式，得中误差关系式：,(5-10),上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。

7、,解：列函数式 求全微分 中误差式,二 .几种常用函数的中误差,2.线性函数的中误差,设有函数式 全微分 中误差式,例：设有某线性函数 其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。,函数式 全微分 中误差式,3.算术平均值的中误差式,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。,4.和或差函数的中误差,函数式： 全微分： 中误差式：,当等精度观测时： 上式可写成：,例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解：,观测值函数中误差公式汇总,误差传播定律的应用,用DJ6经纬仪观测三角形内

8、角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m15 。,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：,求全微分：,水平距离中误差：,其中：,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解: (2)测量高差的精度 基本公式：,求全微分：,高差中误差：,其中：,误差传播定律的应用,例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,解: (1)周长 ,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,面积 ,周长的中误差为,全微分:,面积的中

9、误差为,全微分:,解:(1)周长和面积的中误差分别为,例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.,(2)周长 ;周长的中误差为,面积,得周长的中误差为,全微分:,但由于, 观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式),5.6 同（等）精度直接观测平差,一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值),上式等号两边分别相加得和：,L=,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,观测值改正数特点,二.观测值的改正数v

10、 ：,以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。,Vi = L - i (i=1,2,n),精度评定,精度评定,用观测值的改正数v计算中误差,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,证明两式根号内相等,中误差 定义:,白塞尔 公式:,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。,算例1:,7642451.74 ,距离丈量精度计算例,算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ； 观测值的中误差 ；

11、算术平均值的中误 差 ； 算术平均值的相对中误差 ：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,5.7 不同精度直接观测平差,一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。,1 权的定义： 设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为：,称Pi为观测值l i 的权。,1 权的定义：,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,2 权的性质 （1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,二、测量中常用的定权方法,1 同精度观测值的权 对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定= m2，则一次观测值的权为：,n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：,同精度观测值算术平均值的权为：,二、测量中常用的定权方法,2 单位权与单位权中误差 对于一组不同精度的观测值l i ，一次观测的中误差为mi ，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定= m2，则有：,数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值