高二数学 18曲线的方程培优教案

1、曲线的方程一选择题：1一动圆与圆：和都外切,则动圆圆心的轨迹为( ).(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆2已知定直线l和l外一定点A,过A且与l相切的圆的圆心轨迹是( ).(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)直线3与双曲线共渐近线,且与直线x-y+1=0只有一个公共点的双曲线方程是( ).(A)(B)(C)(D)4已知A、B是抛物线上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且抛物线焦点恰为AOB的垂心,则直线AB的方程是( ).(A)x=6(B)x=5(C)x=4(D)x=35过抛物线的焦点,作直线与此抛物线相交于两点P和Q,那么线段PQ的中点的轨迹方程是( ).(A)(

2、B)(C)(D)6圆心在抛物线上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( ).(A)(B)(C)(D)7若0,则椭圆的中心的轨迹是( ).8已知双曲线的中心在原点,且一条渐近线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为( ).(A)(B)(C)(D)9将椭圆绕其左焦点按逆时针方向旋转90后所得椭圆方程为( ).(A)(B)(C)(D)10双曲线C与双曲线关于直线x+y=0对称,双曲线C的方程是( ).(A)(B)(C)(D)二填空题：11已知ABC的三边abc,且成等差数列,A,C的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点B的轨迹是_.12已知直线l过点P(2,1),且与坐标轴的正半轴

3、相交所成的三角形面积最小,则直线l的方程为_.13一直线与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB,且O在线段AB上的射影D的坐标为(2,1),则抛物线的方程为_.14已知C,F分别是椭圆长轴所在直线上的顶点和焦点,过F作CF的垂线交椭圆于A,B,且,则符合条件的椭圆的标准方程是_(只要求写出一个即可,不必考虑所有可能的情况).15过定点M(1,2),且以y轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程为_.16椭圆C：关于直线l:y=x-3对称的椭圆C的方程是_.17P点为抛物线上任意一点,抛物线的焦点为F,则分PF成2：3的点M的轨迹方程为_.18已知A(7,0),B(7,0),C(2,

4、12),若一椭圆以C为一个焦点,并过A、B两点,则椭圆另一焦点的轨迹方程是_.三解答题：19已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过它的右焦点F2引倾斜角为的直线l交椭圆于M,N两点,M,N两点到椭圆右准线的距离之和为,它的左焦点F1到直线l的距离为,求椭圆的方程.20已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆O：,动点M到圆O的切线长与MQ的比等于常数(0),求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.21已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.22在面积为1的PMN中,建立适当的坐标系,求出以M

5、,N为焦点且过点P的椭圆方程.23如图1,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等,若AMN为锐角三角形,AM,AN3,且BN6,建立适当的坐标系,求曲线C的方程.点拨与解答:一选择题：1(C)设圆的圆心为O,圆0的圆心为O1,动圆圆心为P,半径为R,则PO=R+1,|PO1|=R+2.|PO1|-|PO|=1.即动圆圆心P到两定点O1,O的距离差为1,其轨迹是双曲线的一支.2(A)依题意,动圆圆心到定点A的距离与到定直线l的距离都等于圆的半径,根据抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是抛物线.3(D)所求双曲线为,双曲线与直线

6、x-y+1=0只有一个公共点,方程组有唯一一组实数解,解得=-1,所求双曲线方程为.4(B)抛物线的焦点F(1,0),|OA|=|OB|,根据抛物线的对称性,设A、B的坐标分别为、,.点F为AOB的垂心,AFOB,即,.5(B)抛物线的焦点为F(1,0),则过焦点F(1,0)的直线方程为y=k(x-1).设直线y=k(x-1)与抛物线交于,Q(),PQ的中点为R(x,y),则由消去y,得到,得到,消去参数k,解得,即为线段PQ的中点的轨迹方程.6(D)抛物线的准线方程为,根据题意设所求圆的圆心为(),则有,解得a=1.所求圆的圆心为或,半径为1.所求圆的方程为或.即或,其中为选项(D).7(D

7、)椭圆即为,其中心为.其中.,.8(D)根据题意,设所求双曲线方程为.准线方程为.解得.所求双曲线方程为.9(C)已知椭圆的左焦点为(-4,0),中心为(0,0),绕(-4,0)逆时针旋转90后,椭圆中心为(-4,4),一个焦点为(-4,0),其长轴平行于y轴,长轴长,短轴长,焦距均不变,所以所得椭圆方程为.10(D)已知双曲线的中心为(3,2),两个顶点为(0,2)和(6,2),它们关于直线x+y=0的对称点分别为(-2,-3),(-2,0),(-2,-6).其实轴平行于y轴,实轴长,虚轴长,焦距均不变,所以所求双曲线C的方程为.二填空题：11点B的轨迹方程为,即点B的轨迹是不包括顶点的左半

8、个椭圆.根据题意知,2b=a+c,又2b=4.|BA|+|BC|=4,又BCAB,顶点B的轨迹是以A、C为焦点的左半个椭圆(去掉三个点(-2,0),(0,),(0,).12x+2y-4=0设直线l方程为,则,即.4,当且仅当,即b=2时等号成立,所求直线方程为.13,ODAB于D,直线AB的方程为y-1=-2(x-2).设A(),B(),则由消去x,得到,消去y,得到.,.,解得.所求抛物线方程为.14或满足a=2c的方程.设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则根据题意知,CF=a-c,由AB=3CF,得到,又,所以,整理,得,解得a=2c,a=c(不合题意,舍去).满足a=2c的

9、椭圆方程即可作为本题答案.15如图2,设满足条件的椭圆的左顶点为A(x,y),左焦点为F(),则由,得到,解得,即.又由,得到,整理得到即为左顶点A的轨迹方程.16设为椭圆C：上的任意一点,关于直线l:y=x-3的对称点为P(x,y),则有,解得.又在椭圆C上,即.17设为抛物线上的任意一点,F()为抛物线的焦点,M(x,y)分PF为2：3.,解得 P()在上,即.18(x-1)设椭圆的另一焦点为C,则根据椭圆定义知,|AC|+|AC|=|BC|+|BC|,|BC|-|AC|=|AC|-|BC|=15-13=2.C点的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的左支,其方程为(x-1).三解答题

10、:19设所求椭圆方程为,右焦点F2(c,0),直线l的方程为y=x-c,点M(),N()到椭圆右准线的距离分别为d1,d2(如图3).则由消去y,得到, 到直线l:y=x-c的距离为,即,c=1.将c=1,代入,解得,(舍去),所求椭圆方程为.20当=1时,轨迹方程为；当1时,轨迹方程为.如图4,设MN切圆O于N,则=(0),设动点M的坐标为(x,y),则,整理,得.当=1时,方程化为,动点M的轨迹是垂直于x轴且与x轴交于()点的直线；当1时,方程化为,动点M的轨迹是以()为圆心,以为半径的圆.21直线l方程为,抛物线C的方程为.设抛物线C的方程为,直线l的方程为.设A、B分别为点A、B关于直线l的对称点,则AAl,BBl,直线AA的方程为 由,解得直线AA与直线l的交点M的坐标为,点A的坐标为().同理可得点B的坐标为().点A、B均在抛物线C上,由得 由得 解得,.当时,A的横坐标为负值,不合题意.所求直线方程为,所求抛物线方程为.22如图5,建立平面直角坐标系,以M、N所在直线为x轴,以线段MN的垂直平分线为y轴,所求椭圆方程为+(ab0).设M(-c,0),N(c,0),P(x0,y0),又设PNX=,则,直线PM：,直线PN：.点P(x0,y0)在直线PM和直线PN上,.由此解得,点P().,.,又,解得,.所求椭圆方