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1、广东省化州市实验中学2014高中数学 含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法导学案 新人教A版必修5恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、 分离参数在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若恒成立,只须求出,则;若恒成立,只须求出,则,转化为函数求最值。例1、已知函数,若对任意恒有,试确定的取值范围。解:根据题意得:在上恒成立,即:在上恒成立,设,则当时, 所以 在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若恒
2、成立,只须求出,则,然后解不等式求出参数的取值范围;若恒成立,只须求出,则,然后解不等式求出参数的取值范围,问题还是转化为函数求最值。例2、已知时,不等式恒成立,求的取值范围。解:令, 所以原不等式可化为:,要使上式在上恒成立,只须求出在上的最小值即可。 二、 分类讨论在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若时,不等式恒成立,求的取值范围。解:设,则问题转化为当时,的最小值非负。(1) 当即:时, 又所以不存在;(2) 当即:时, 又 (3) 当 即:时, 又综上所得:变式:若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围。三、 确定主元
3、在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量看成是主元(未知数),而把另一个变量看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。例4、若不等式对满足的所有都成立,求的取值范围。解:设,对满足的,恒成立, 解得:变式:已知不等式对于恒成立,求参数的取值范围。四、 利用集合与集合间的关系在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解,即:,则且,不等式的解即为实数的取值范围。例5、当时,恒成立,求实数的取值范围。解:(1) 当时,则问题转化为 (2) 当时,则问题转化为综上所得:或五、 数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关于参数的不等式。例6、若不等式在内恒成立,求实数的取值范围。解:由题意知:在内恒成立,在同一坐标系内,分别作出函数和观察两函数图象,当时,若函数的图象显然在函数图象的下方,所以不成立;当时,由图可知,的图象必须过点或在这个点的上方,则, 综上得:
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