高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第二课时 函数的最大（小）值学案（含解析）新人教A版必修

1、第二课时函数的最大(小)值提出问题观察下面的函数图象：问题1：该函数f(x)的定义域是什么？提示：4,7问题2：该函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么？提示：3，2.问题3：函数yf(x)的值域是什么？提示：2,3导入新知1最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值2最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最小值化解疑难

2、1函数最大(小)值的几何意义函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标2函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)图象法求函数的最值例1(1)函数f(x)在区间2,5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2)B2，f(2)C2，f(5) D2，f(5)(2)求函数f(x)的最值解(1)选C由函数的图象知，当x2时

3、，有最小值2；当x5时，有最大值f(5)(2)函数f(x)的图象如图：由图象可知f(x)的最小值为f(1)1，无最大值类题通法用图象法求最值的一般步骤活学活用作出函数y|x2|(x1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值解：当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22；当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x22.所以y画出该分段函数的图象，如图由图象可知，函数y|x2|(x1)在，2，)上是增函数；在上是减函数观察函数图象，可知函数不存在最大值，也不存在最小值.利用单调性求函数的最值例2已知函数f(x)x.(1)求证：f(x)在(1，)上是增函数；(2)求f(x)在

4、2,4上的最值解(1)证明：设任意两个x1，x2(1，)，并且x1x11，x1x21，x1x210，故0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在区间(1，)上是增函数(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函数，当x2,4时，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值为，最小值为.类题通法函数的最值与单调性的关系(1)如果函数yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最大值f(b)(2)如果函数yf(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最小值

5、f(b)(3)如果函数yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值活学活用在题设条件不变的情况下，求f(x)在上的最值解：设x1，x2，并且x1f(x2)，即f(x)在上是减函数结合例题可知，函数f(x)在上单调递减，在(1,2)上单调递增当x1时，f(x)取得最小值f(1)2；又f3f(2)，f(x)在上的最大值为，最小值为2.函数最值的应用例3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)(2)当月产量为何值时

6、，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)R(x)(20 000100x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，f(x)max25 000.当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)max25 000.即每月生产300台仪器时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元类题通法解决函数最值应用题的方法(1)解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决(2)分清各种数据之间的关系是正

7、确构造函数关系式的关键活学活用如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，问每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？解：由题意知笼舍的宽为x m，则笼舍的长为(303x) m，每间笼舍的面积为yx(303x)(x5)237.5，x(0,10)当x5时，y取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5 m2.典例求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.(1)当a0时，由图可知，f(x)在区间0,2上是增函数，所

8、以f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2)当0a1时，由图可知，对称轴在区间0,2内，所以f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.(3)当12时，由图可知，f(x)在0,2上为减函数，所以f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.多维探究上题由于对称轴xa，而a的取值不定，从而导致了分类讨论由于抛物线的对称轴与区间0,2的相对位置关系不确定，最小值在顶点处或端点处取得，最大值可能是f(0)，也有可能是f(2)，故应分四类讨论与二次函数有关的最值问题还有以下三类：1求二次函数在某定区间上的最小(大)值例：求二次函数f(x)x22ax2在2,

9、4上的最小值解：函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min2已知二次函数的最大(小)值，求参数例：已知函数yx22ax(0x1)，且ymaxa2，求实数a的取值范围解：yx22ax(xa)2a2(0x1)，函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为xa.又ymaxa2，且0x1，0a11a0.实数a的取值范围是1,03求二次函数在某动区间上的最大(小)值例：设f(x)x24x4，xa，a1(aR)，求函数f(x)的最小值g(a)的解析式解：f(x)(x2)28，xa，a1，当2a，a1时，即

10、1a2时，g(a)f(2)8.当a12，即a2时，f(x)在a，a1上是增函数，g(a)f(a)a24a4.综上可知，g(a)随堂即时演练1.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()Af ，f Bf(0)，f Cf ，f(0)Df(0)，f(3)解析：选B观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f .2函数f(x)x23x2在区间(5,5)上的最大值、最小值分别为()A42,12B42，C12， D无最大值，最小值解析：选Df(x)x23x22，55，f(x)minf，无最大值3函数yx26x9在区间a，b(ab3)上有最大值9，最小值7，则a_，b_.解析：y(x3

11、)218，ab3，f(x)在区间a，b上单调递增，即b26b99，得b0，a26a97，得a2.答案：204函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：25已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值解：(1)任取x1，x23,5且x1x2，则f(x1)f(x2).x1，x23,5且x1x2，x1x20，x220.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数f(x)在3,5上为增函数(2

12、)由(1)知，当x3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)；当x5时，函数f(x)取得最大值，为f(5).课时达标检测一、选择题1函数f(x)的最大值是()A.B.C. D.解析：选Df(x).2函数yx的最值的情况为()A最小值为，无最大值B最大值为，无最小值C最小值为，最大值为2D最大值为2，无最小值解析：选Ayx在定义域上是增函数，函数最小值为，无最大值，故选A.3已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0C1 D2解析：选Cf(x)(x24x4)a4(x2)24a，函数f(x)图象的对称轴为x2.f(x)在0,1上单调递增又f(x)m

13、in2，f(0)2，即a2.f(x)maxf(1)1421.4当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：选C令f(x)x22x，则f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a0.5某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元解析：选C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，公司获利为Lx221x2(15x)x219x30230，当

14、x9或10时，L最大为120万元二、填空题6函数yx(x0)的最大值为_解析：原函数整理得y2，ymax.答案：7已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_解析：如图可知f(x)在1，a内是单调递减的，又f(x)的单调递减区间为(，3，1p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；(2)若s100，p10，q110，k2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？解：(1)轮船行驶全程的时间t，y(pvq)(2)若s100，p10，q110，k2，则y200(1)(100时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f