数学建模-模糊数学课件

1、2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013建模专题讲座模糊数学数理部王冰冰,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,一、模糊数学基础知识 二、模糊聚类分析 三、模糊识别 四、模糊综合评价,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,引言,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠统计学去刻画; 模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”， 等等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。 模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,2013.

2、05.13,洛阳理工学院数理部,如：你某时到某地去接一个“大胡子. 高个子. 长头发. 戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽管提供的只有一个精确的信息男人，而其它的信息大胡子. 高个子. 长头发. 戴宽边黑色眼镜. 中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。,应用范围：,农业，林业，气象，环境，地质勘探，医学，经济管理等,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,模糊数学的诞生,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,从精确到模糊,精确 答案确定：要么是，要么不是 f : A 0,1 他是学生？他不是学生？ 模糊 答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 A :

3、 U 0,1 他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,定义:设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,第一节 模糊数学基础知识,一、模糊集合论的基础知识,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,这几个图型相对于圆的隶属度,a,b,c,d,e,A为圆：,U=a,b,c,d称为论域,uA(a

4、)=1 uA(b)=0.9 uA(c)=0.4 uA(d)=0.2 称为U在A上的隶属函数,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,还可用向量表示A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,模糊集并不再回答“是或不是”的问题，而是对每个 对象给一个隶属度，所以与经典集有本质区别。而且

5、 与隶属函数是捆绑一起的，所以可以不做区分。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,U = 甲, 乙, 丙, 丁 A = “矮子” 隶属函数 A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子

6、” 隶属函数 B= (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “既矮又瘦” C = AB =(0.90.8,10.2，0.60.9, 01 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲和丙比较符合条件,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,3、模糊矩阵,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,201

7、3.05.13,洛阳理工学院数理部,并：,交：,余：,例：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（2）模糊矩阵的合成,例：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,式中“”表示矩阵的合成运算，类似矩阵乘法运算，但要将元素的相乘改为求最小值、相加改为求最大值。例如:,矩阵乘法运算,矩阵运算,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（3）模糊矩阵的转置,（4）模糊矩阵的 截矩阵,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,例：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,二、隶属函数的确定,1、模糊统计法(了解),模糊统计试验的四个要素：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,特点：在各

8、次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2.指派方法(常用) 指派方法是一种主观的方法，它主要根据人们的实践经验，来确定某些模糊集的隶属函数。如果模糊集定义在R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。指派方法就是根据问题的性质主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。常见的模糊分布有 1.矩形分布 4. 型分布 2.梯形分布 5.正态型分布 3.k次抛物型分布 6.柯西型分布 这些类型所对应的具体函数详见数学建模方法及其应用（韩中庚）。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,1.

9、矩形型,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2.梯形型(常用),2013.05.13,洛阳理工学院数理部,“老年” 50岁以下不是老年 70岁以上是老年 年龄越大，被认为是老年的根据越充分,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,3.K次抛物型,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,4. 型,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,5.正态型(常用),2013.05.13,洛阳理工学院数理部,6.柯西型,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,3、其它方法,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,第二节 模糊聚类分析,在科学技术，经济管理中常常需要按照一定的标准（相似程度或亲

10、疏关系）进行分类。对所研究的事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的划分，就应该用模糊数学的方法，我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析.,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平0,1，可得到不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图。 模糊聚类的基本步骤： 1）数据的标准化处理 2）建立模糊相似矩阵 3）聚类分析,2013

11、.05.13,洛阳理工学院数理部,一、基本概念及定理,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,自反性可推出：,与传递性：,结合，可得到：,模糊等价矩阵实际满足:,传递性的理解：,若xi与xk有关系R，xk与xj有关系R，则xi与xj有 关系R，这种关系可以理解为大于等于某个阈值， 在传递性下，,等价布尔矩阵是一种普通关系，在传递性条件下， 是可以分类的，即rij=1，则xi与xj为一类。 我们要分类必须将模糊等价矩阵转化为等价布尔矩 阵。所以引入截矩阵。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,例：设对于模糊等价矩阵,2013.05.13,洛阳理工

12、学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,实际应用中建立一个模糊等价矩阵式不容易的， 传递性不易满足。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,当第一次出现 时， 即为所求。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,例：设有模糊相似矩阵,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,二、模糊聚类的一般步骤,1、建立数据矩阵,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（1）标准差标准化,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（2）极差正规化,（3）极差标准化,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2.建立模糊相似矩阵 设论域=x1,x

13、2, ,xn，xi=xi1,xi2, ,xin， 如果xi与xj之间的相似程度为rij=(i, j)，则称之为相似系数。R=(rij)nn称为相似系数矩阵。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：

14、,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,用平方法合 成传递闭包,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,取 ，得,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,取 ，得,取 ，得,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,取 ，得,取 ，得,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,X=80 10 6 2;50 1 6 4;90 6 4 6;40 5 7 3;10 1 2 4,输出动态聚类图如下：,调用函数：F

15、_Jlfx(3,5,X),2013.05.13,洛阳理工学院数理部,模型识别：根据研究对象的某种特征对其进行分类，得到一组标准模式，对于一个确定的对象识别它属于哪一类的问题。它有两个本质特征：一是事先给定若干标准模型（标准模型库），二是有待识别的对象. 模糊模型识别：指在模型识别中，标准模型库中提供的模型和被识别的对象至少有一个是用模糊集表示的.,第三节 模糊模式识别,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,一、最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,原则的例子。 在论域U=0,100(分数)上确定三个

16、代表学习成绩的模糊集 A =“优”，B =“良”，C =“差”。当某学生的数学成绩为88分时，该学生的数学成绩该评为优、良、还是差？,为此，要先建立模糊集 隶属函数。有人用指派法建立了论域U上模糊集 的隶属函数为:,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,把x=88分别代入上述三个隶属函数，得: 据原则，88分相对三个模型应隶属于 ，即可评为优。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,原则的例子,把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数:,由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则应首先聘任第三位同学。,设论域U=x1, x2, x3(三名学生

17、的学习成绩),在U上确定以一个模糊集A=“优”，若三个学生的英语成绩分别为x1=70, x2=80, x3=90现据英语成绩从三名学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,二、择近原则,1、贴近度,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,C =,C =,故B比A更贴近于.,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,输入数据： A=0.9 0.1 0.6 0.3;0 0.3 0.4 0.8 B=0.1 0.6 0.3 0.4,调用函数： C=fuzzy_mssb(1,A,B),输出结果： C = 0.4500 0.65

18、00,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2、择近原则,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,输入数据： A=1 0.8 0.5 0.4 0 0.1; 0.5 0.1 0.8 1 0.6 0; 0 1 0.2 0.7 0.5 0.8; 0.4 0 1 0.9 0.6 0.5; 0.8 0.2 0 0.5 1 0.7; 0.5 0.7 0.8 0 0.5 1 B=0.7 0.2

19、0.1 0.4 1 0.8,输出结果： C = 0.3333 0.3778 0.4545 0.4348 0.8824 0.4565,调用函数： C=fuzzy_mssb(2,A,B),2013.05.13,洛阳理工学院数理部,如果分类后的类别由多个标本构成，可以取求平均以 后的均值向量作为标准模式，还可进一步用极差变换 等化为无量纲的模式，当然待判断对象也要转化。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,第四节 模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,2013.05.13

20、,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：,最后得到一个评价向量,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,其中：,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,例1：教师讲课的综合评判,U是评价因素集，V是评语等级 U=清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整齐 V=很好，较好，一般，不好,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,rij表示第i个因素着眼，对被评教师作出第j种评语的可能程度：,模糊评价矩阵R,清楚 易懂 教材 熟练 生动 有趣 板书 整齐

21、,很好 较好 一般 不好,U,V,数据来源：可以在某一班级做问卷调查，如在清楚易懂方面有40%的学生认为是很好，50%的学生认为是较好，10%的认为一般，没有人认为不好。其它的因素如法炮制。,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,权数,我们可以为U中的各元素分配不同的权数，表示各元素隶属于重要的隶属度。 A=（0.5，0.2，0.2，0.1）,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,评价模型是：A R，表示取小取大运算,B=（0.5，0.2，0.2，0.1）,清楚 易懂 教材 熟练 生动 有趣 板书 整齐,很好 较好 一般 不好,B1=Maxmin0.5,0.4, min0.2,0.6,

22、 min0.2,0.1, min0.1,0.1=0.4,B2=Maxmin0.5,0.5, min0.2,0.3, min0.2,0.2, min0.1,0.2=0.5,B3=Maxmin0.5,0.1, min0.2,0.1, min0.2,0.6, min0.1,0.5=0.2,B4=Maxmin0.5,0, min0.2,0, min0.2,0.1, min0.1,0.2=0.1,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,归一化后：,B=(0.33, 0.42, 0.17, 0.08) 根据最大隶属原则，该老师讲课只能是较好。,很好 较好 一般 不好,B=(0.4, 0.5, 0.2,

23、0.1),2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,输入数据： R=0.2 0.5 0.2 0.1;0.7 0.2 0.1 0;0 0.4 0.5 0.1;0.2 0.3 0.5 0 A1=0.1 0.2 0.3 0.4 A2=0.4 0.35 0.15 0.1,调用函数： B=fuzzy_zhpj(1,A1,R),输出结果： B = 0.2000 0.3000 0.4000 0.1000,调用函数： B=fuzzy_zhpj(1,A2,R),输出结果： B = 0.3500 0.4000 0.2000 0.1000,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理部,2013.05.13,洛阳理工学院数理