高中数学 2.1.3 超几何分布学案 新人教B版选修

1、2.1.3超几何分布1.理解超几何分布及其推导过程.(重点、难点)2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题.(难点)基础初探教材整理超几何分布阅读教材P44P45例1以上部分，完成下列问题.设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(nN)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(Xm)(0ml，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)超几何分布的模型是不放回抽样.()(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.()(

2、3)超几何分布中的参数是N，M，n.()(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.()2.设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示()A.5件产品中有3件次品的概率B.5件产品中有2件次品的概率C.5件产品中有2件正品的概率D.5件产品中至少有2件次品的概率【解析】根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型超几何分布概率公式的应用从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白

3、球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率.【精彩点拨】摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.【自主解答】设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N25，M10，n5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X2)0.385，即恰好得7分的概率约为0.385.1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解.2.注意公式中M，N，n的含义.再练一题1.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个

4、数X的分布列.【解】X的可能取值是1,2,3.P(X1)；P(X2)；P(X3).故X的分布列为X123P超几何分布的分布列袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率.【精彩点拨】【自主解答】(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X5)，P(X6)，P(X7)，P(X8).故所求分布列为X5678P(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P

5、(X6)P(X7)P(X8).求超几何分布的分布列时，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值，分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.再练一题2.在本例中，设X1为取得红球的分数之和，X2为取得黑球的分数之和，X|X1X2|，求X的分布列.【解】从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，X12，X23，X1；2红2黑，X14，X22，X2；3红1黑，X16，X21，X5；4红，X18，X20，X8.P(X1)，P(X2)，P(X5)，P(X8).故所求的分布列为：X1258P探究共研型超几何分布的综合应用探究从含有5件次品的100件产品中任取3件

6、.这100件产品可分几类？取到的次品数X的取值有哪些？求次品数X2的概率.【提示】产品分两类：次品和非次品；X取值为：0,1,2,3；P(X2).在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.【精彩点拨】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X(0,1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(

7、X1,2)服从超几何分布.【自主解答】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.P(X1)，则P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列为X01P(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P.Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此随机变量Y的分布列为Y010205060P解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.(2)超几何分布

8、中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列.再练一题3.现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列.【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X3)，P(X7)，P(X11).故X的分布列为X3711P构建体系 1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为()A.B.C.1D.【解析】出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1.【答案】C2.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为() 【导学号：】A.B.C.

9、D.【解析】由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X1).【答案】B3.一个盒子里装有大小相同的红球，白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为的事件是()A.没有白球B.至少有一个白球C.至少有一个红球D.至多有一个白球【解析】表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.【答案】B4.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X3)_.【解析】P(X3).【答案】5.在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试

10、，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率.【解】X可以取1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为：Xk123P(Xk)该考生合格的概率为P(X2)P(X2)P(X3).学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；X表示取出的最小号码；取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；X表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是()A.B

11、.C.D.【解析】由超几何分布的概念知符合，故选B.【答案】B2.某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为()A.B.C.D.【解析】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.【答案】C3.一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是()A.P(0X2)B.P(X1)C.P(X1)D.P(X2)【解析】结合题意，当X1时，P(X1)，当X0时，P(X0)，故P(X1)【答案】B4.设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜

12、色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为() 【导学号：】A.B.C.D.【解析】由题意知所求概率为P.【答案】A5.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是()A.P(X2)B.P(X2)C.P(X4)D.P(X4)【解析】15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P(X4).【答案】C二、填空题6.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X1)_.【解析】X1表示的结果是抽取的

13、2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X1).【答案】7.某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为_.【解析】有两人会说日语的概率为.【答案】8.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为_.(结果用最简分数表示)【解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，则P(A).【答案】三、解答题9.(2016大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊

14、任务，记其中有X名男同学.(1)求X的分布列；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.【解】(1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n算出其相应的概率.即X的分布列为X0123P(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为PP(X1)P(X2).10.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字.求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布；(3)计算介于20分到40分之间的概率.【解】(1)“一次

15、取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A).(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).所以随机变量X的概率分布为X2345P(3)一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C，P(C)P(X3)P(X4).能力提升1.从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为()A.B.C.D.【解析】设随机变量X表示取出次品的件数，则P(X0).【答案】A2.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于()A.恰有1只是坏的概率B.恰有2只是好的概率C.4只全是好的概率D.至多有2只是坏的概率【解析】恰好2只是好的概率为P.【答案】B3.设某10件产品中含有a件次品，从中任取7件产品，其中含有的次品数为X，若X的可能取值中的最小值为2，则a_. 【导学号：】【解析】取出的7件产品中，要使所含的次品数最小，只需将10a件正品都取出，然后再取2件次品即可，故(10a)27，解得a5.【答案】54.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现一次从中摸出5个球.(1)若摸到4个红球，1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率；(2)若至少摸到3