第5章+测量误差的基本知识.ppt

1、2020年8月19日星期三,1,测 量 学第5章 测量误差的基本知识,2020年8月19日星期三,2,第5章 测量误差的基本知识 5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 用观测值的改正数计算中误差,2020年8月19日星期三,3,5.1 测量误差概述,一、 测量误差产生的原因, 测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等 三项又称为观测条件, 测量误差的表现形式, 测量误差（真误差=观测值-真值）,（观测值与真值

2、之差）,（观测值与观测值之差）,2020年8月19日星期三,4,例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,1.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。, 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校),二、测量误差的分类,2020年8月19日星期三,5,2.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。, 准确度(测量成果与真值的差异）, 最或是

3、值（最接近真值的估值，最可靠值）, 测量平差（求解最或是值并评定精度）,几个概念:, 精（密）度（观测值之间的离散程度）,2020年8月19日星期三,6,举例: 在某测区，等精度观测了96个三角形的内 角之和，得到100个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,三、偶然误差的统计特性,2020年8月19日星期三,7,表5-1,2020年8月19日星期三,8,用频率直方图表示的偶然误差统计：,频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴

4、。,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,图5-1 误差统计直方图,2020年8月19日星期三,9,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,3.偶然误差的特性,2020年8月19日星期三,10,偶然误差的特性 1）有界性； 2）单峰性； 3）对称性； 4）抵偿性偶然误差是观测过程中各种偶然误差源影响的总和。它是无法消除的：1）偶然误差的不可避免性；2）偶然误差的随机性；3）观测次数的有限性。

5、,2020年8月19日星期三,11,一、中误差,5.2 衡量精度的标准,设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观测值为l1, l2， ln，相应的真误差为1,2，n i = li X 中误差的定义为：,2020年8月19日星期三,12,例 该段距离的真值为49.982m,每个观测值的中误差都是4.7mm,2020年8月19日星期三,13,二、相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。,当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 分母有效数字的取位及只舍不进规则,K2K1，所以距离S2精度较高。,当观测误差与

6、观测量的大小无关时就不能采用相对误差。,2020年8月19日星期三,14,三、容许误差(极限误差),2020年8月19日星期三,15,解：列函数式 求全微分 中误差式,5.3 误差传播定律,2020年8月19日星期三,16,二、和或差函数的中误差,函数式： 全微分： 中误差式：,2020年8月19日星期三,17,特殊的，设,函数式： 全微分： 中误差式：,当等精度观测时： 上式可写成：,例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解：,2020年8月19日星期三,18,三、一般线性函数的中误差,设有函数式 全微分 中误差式,例：设有某线性函数

7、 其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。,2020年8月19日星期三,19,四、一般函数的中误差,令 的系数为 ，用观测值代入偏导数式， fi 为常量， (c)式为：,5.3 误差传播定律,2020年8月19日星期三,20,对Z观测 了k次， 有k个式,(d),2020年8月19日星期三,21,由偶然误差的抵偿性知：,(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：,即,(h),2020年8月19日星期三,22,(h),考虑 ，代入上式，得中误差关系式：,(5-17),上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,2020年8月19日星期三,23,通过以上

8、误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,1.列出函数式； 2.对函数式求全微分（合并误差的同类项）； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。,2020年8月19日星期三,24,例：设测得圆的半径r =1.465m，已知其中误差m=0.002m，求其周长l及其中误差。解： l = 2r=2*3.14*1.165 = 9.205m求全微分：dl = 2dr f = 2应用误差传播定律 ml =2m r = 0.013m最后结果写成：l = 9.205m 0.013m,误差传播定律的应用,2020年8月19日星期三,25,例 在ABC中直接观测A、B，其中误差分别为mA=3，m

9、B=4，求mC解：1列函数式 C = 180-A - B 2求全微分 dC = - dA dB即f1 = -1，f2 = -13应用误差传播定律 mC =5,2020年8月19日星期三,26,例 已知倾斜距离及其中误差为L=500.05m,倾斜角及其中误差为=1530求水平距离D及其中误差mD,2020年8月19日星期三,27, 观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式),5.4 算术平均值及其中误差,2020年8月19日星期三,28,一. 算术平均值,上式等号两边分别相加得和：,L=,2020年8月19日星期三,29,当观测次数无限多时，观测值

10、的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,2020年8月19日星期三,30,函数式 全微分 中误差式,二、算术平均值的中误差,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。,2020年8月19日星期三,31,式（5-19）表明，在相同的观测条件下，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。设当观测值的中误差m=1时，则算术平均值的中误差mL与观测次数n的关系如图5.1所示。由图中可以看出，随着观测次数的增加算术平均值的精度随之提高，,但当观测次数增加到一定数值后算术平均值的精度提高是很微小的。因

11、此，不能单靠增加观测次数来提高观测成果的精度，还应设法提高观测本身的精度。,2020年8月19日星期三,32,5.5 用观测值的改正数计算中误差,以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。,Vi = L - i (i=1,2,n),2020年8月19日星期三,33,精度评定,精度评定,用观测值的改正数v计算中误差,2020年8月19日星期三,34,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,2020年8月19日星期三,35,证明两式根号内相等,中误差 定义:,白塞尔 公式:,2020年8月19日星期三,36,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,例：对某水平角等精度观测了6次，观测数据如下表， 求其算术