十五讲导数在研究函数中的应用.ppt

1、第十五讲导数在研究函数中的应用生活中的优化问题举例,走进高考第一关 基础关教 材 回 归1. 函数的单调性在某个区间内,若f(x)0,则f(x)在这个区间内为_;若f(x)0,则f(x)在这个区间内为_.,增函数,减函数,注意:当f(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处为正(或负)时,f(x)在这区间上仍旧是单调递增(或递减)的,例如:在(-,+)上,f(x)=x3,当x=0时,f(x)=0,当x0时,f(x)0,而f(x)=x3显然在(-,+)上是单调递增函数.,2. 函数的极值(1)如果在x0附近的左侧f(x)_0,右侧f(x)_0,且f(x0)_0,那么f(x0)是极大值;,=,(2

2、)如果在x0附近的左侧f(x)_0,右侧f(x)_0,且f(x0)_0,那么f(x0)是极小值.注意:函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件,而不是充分条件.,=,3. 一般地,求函数y=f(x)在上的最大值与最小值的步骤如下:(1)_;(2)_.,求函数y=f(x)在(a,b)内的极值,将函数y=f(x)的各极值点与端点处的函数值f (a) f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,4. 生活中经常遇到求利润最大用料最省效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具.5. 导数常常和解含参数的不等

3、式不等式的证明结合起来,应注意导数在这两方面的应用.,考 点 陪 练1. 函数y=x+ (a0)的减区间为( )A. (-a,a)B. (-a,0)(0,a)C. (-a,a)且x0D. (-a,0)及(0,a),D,2. 若函数y=a(x3-x)的递减区间为( ),则a的范围是( )A. a0B. -11D. 0a1,A,3. 函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5,D,4. 函数f(x)=x3-3x+1在闭区间上的最大值最小值分别是( )A. 1-1B. 1,-17C. 3,-17D. 9,-19,C,5. 已

4、知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极值为( )A. 极大值为 ,极小值为0B. 极大值为0,极小值为-C. 极小值为- ,极大值为0D. 极小值为0,极大值为,A,解读高考第二关 热点关类型一:函数的单调性解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:确定函数f(x)的定义域;求导数f(x);由f(x)0(或f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.,典例1已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单

5、调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.,分析第(1)问由f(x)在R上是增函数知f(x)0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.,解(1)由已知f(x)=3x2-a,f(x)在(-,+)上是单调增函数,f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在R上是增函数,a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a3时,f(x)=3x2-a在x(-1,1)上恒有f(x)0,即f(x)在(-1

6、,1)上为减函数,a3.故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.,评析容易把f(x)0(f(x)0)看成是f(x)为增函数(减函数)的充要条件,从而求错参数的范围.,探究已知f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.,分析通过解f(x)0,求单调递增区间.,f(x)=ex-ax-1,f(x)=ex-a.令f(x)0,得exa.当a0时,有f(x)0在R上恒成立;当a0时,有xlna.综上,当a0时,f(x)的单调增区间为(-,+);当a0时,f(x)的单调增区间为,评析求函数的单调区间,就是解f(x)0或f(x)0,这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.,对

7、可导函数,求单调区间的步骤如下:(1)求f(x)的定义域;(2)求出f(x);(3)令f(x)=0,求出全部驻点(补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f(x0)=0,则称点x0为函数f(x)的驻点);(4)驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内f(x)的符号,因而可确定f(x)的单调区间.,类型二:函数的极值解题准备:运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f(x);(2)求方程f(x)=0的根;(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极

8、小值.,分析按照求极值的基本方法,首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.,解f(x)的定义域为R.令y=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时,yy的变化情况为:当x=-1时,y有极小值-3;当x=1时,y有极大值-1.,求函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)=0的全部实根;(4)检查方程f(x)=0的根左右两侧f(x) 的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的

9、符号,可用列表的方法:用方程f(x)=0的根及无意义的点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.据极值定义找到相应的极值.,当a0时,随x的变化,f(x)与f(x)的变化情况如下表:,当a0时,随x的变化,f(x)与f(x)的变化情况如下表:,类型三:求函数的最值解题准备:设函数f(x)在上连续,在(a,b)内可导,求函数f(x)在上的最大值和最小值的步骤:求函数在(a,b)内的极值;求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);将函数f(x) 的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,典例3已知函数f(x)=x2e-ax(a0),求函数在上的最

10、大值.分析通过求导先判断单调性再求最值.在求最值时,对a的情况要进行讨论.,评析求函数在闭区间上的最值,首先应判断函数的单调性,一般情况下是先利用导数求出单调区间,分清单调区间与已知区间的关系,有时也需要分类讨论,分类时要不重不漏.,探究某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司a(3a5)元的管理费.预计当每年产品的售价为x(9x11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.,(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出L的最大值Q(a).,笑对高考第三关 成熟关名 师 纠 错

11、误区一:混淆导函数与原函数的图象典例1已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值5,其导函数的图象经过(1,0),(2,0),如图所示,求:(1)x0的值;(2)a,b,c的值.,剖析原题中的图象是导函数的图象,并非是原函数的图象.错解中混淆导函数与原函数的图象,因而产生错误.,正解由于f(x)=3ax2+2bx+c,(1)观察图象,我们可发现当x(-,1)时,f(x)0,此时f(x)为增函数;当x(1,2)时,f(x)0,此时f(x)为增函数,因此在x=2处函数取得极小值.结合已知,可得x0=2.,误区二:误认为导数为零的点就是极值点,典例2求函数f(x)=x4-x3的极值,

12、并说明是极 小值还是极大值.,剖析错解中的错误有两点,认为导数为零的点就是极值点,其实,并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分条件;极大值大于极小值,这也是不准确的.极值仅描述函数在该点附近的情况.,函数及导函数在区间中的变化情况,见下表:,由上表可知函数f(x)在区间(-,0)上是减函数,在区间(0,)上还是减函数,于是,x=0不是函数的极值点.而函数f(x)在区间(0, )上是减函数,在区间( ,+)上是增函数,因此在x=34处取得极小值,其值为 ,无极大值.,解 题 策 略1. 求可导函数单调区间的方法(1)确定函数y=f(x)的定义域,不妨设为(a,b),(2)求f(x),(3

13、)令f(x)=0,求出区间内全部实根,并按从小到大顺序排列为:c1,c2,c3,cn(使y=0的点称为驻点),(4)确定区间(a,c1),(c1,c2),(cn,b)内 f(x)的符号,(5)若在某区间内f(x)0,则函数在这个区间内递增;若f(x)0,则f(x)在这个区间内递减.,2. 运用导数的有关知识,研究函数的单调性是导数的一个重要应用,特别是含有参数的范围问题.,3. 求可导函数的极值的步骤(1)求导数f(x),(2)求方程f(x)=0的根,(3)检验f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号.若在根附近左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;若在根附近左负右正,则f(x)在这个根处

14、取得极小值.,4. 函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体概念,是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值,在求函数最值时,要注意以下几点:(1)最值与极值的区别极值是一个局部概念,是指某一点附近函数值的比较,同一函数在某一点的极大值(小)值,可以比另一点的极大(小)值小(大).而最值是对给定区间或定义域上所有函数值进行比较,从而极值不一定是最值,最值也不一定是极值.,(2)最值与极值求法的差别在区间上连续,在(a,b)内可导的函数f(x)的极值可以通过f(x)在每一个零点两旁的符号来得到,而f(x)在上的最值,则可以通过将各极值与端点的函数值加以比较求得.,5. 利用导

15、数解决实际问题的步骤:(1)合理设出变量,建立数学模型,写出函数关系y=f(x).(2)求f(x),令f(x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.,快 速 解 题典例设f(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ),D,分析本题主要考查了函数与导函数的单调性问题.,解先来看A选项,当原函数的图象为抛物线时,函数值先减后增,而对应的导函数也是先负后正,并且导函数的图象与x轴相交于原点,而在原点处原函数取到极小值,故A选项正确.B选项中有一条曲线恒在x轴上方,若这条曲线代表导函

16、数的图象,则原函数应该是单调递增的,观察发现,B选项是正确的.同样可知,C选项也是正确的,D是不正确的.,评析解决这类问题的策略是:首先判断原函数的增减性与导函数的正负是否一致;然后判断在导函数的图象与x轴的交点处,原函数是否取到极值.一般情况下,排除法是快速求解该类问题的一种方法.,教 师 备 选导数应用留神两类错误一勿把“充分当充要”教材中给出了函数单调性的充分条件,利用这一结论求复杂函数的单调性区间十分方便,但用它解决单调性的逆向问题时却容易出错.,典例1已知f(x)= x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在x(-,+)内为增函数,则m的取值范围为( )A. m4B. -

17、4m-2C. 2m4D. 以上都不正确,错解依题意,知f(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-70恒成立,故=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)0.解得2m4.,分析错在将单调性的充分条件当作充要条件. 因为当m=2时,f(x)=x2-14x+49=(x-7)2,所以当x7时,f(x)0.故f(x)在区间(-,7)和(7,+)内为增函数.又函数f(x)在x=7处连续,从而函数f(x)在区间(-,+)同为增函数;当m=4时,f(x)=x2-30 x+225=(x-15)2,同理可知,f(x)在区间(-,+)内为增函数.,关于可导函数单调性的充要条件,有如下结论:如果方程f(x)

18、=0在某个区间上无连续解,那么在这个区间上,f(x)为增函数的充要条件是f(x)0,f(x)为减函数的充要条件是f(x)0.,正解f(x)=x2-2(4m-1)x+(15m2-2m-7).f(x)在区间(-,+)内为增函数,f(x)=x2-2(4m-1)x+(15m2-2m-7)0恒成立.故=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)0.解得2m4.,二莫把“必要当充分”可导函数的极值点一定是它的导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.换句话说,f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.,典例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求f(

19、2)的值.,分析应注意f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.,列表:,课时作业十五 导数在研究函数中的应用生活中的优化问题举例,一选择题1.(基础题,易)将8分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( )A. 2和6B. 4和4C. 3和5D. 以上都不对,B,解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,则y=x3+(8-x)3,0 x8,y=3x2-3(8-x)2,令y=0,即3x2-3(8-x)2=0,解得x=4.当0 x0.所以x=4时,y最小.,2. (基础题,易)函数y=x3+ax+b在(-1,1)上为单调递减函数,在(1,+)上为单调递增函数,则( )A

20、. a=1,b=1B. a=1,bRC. a=-3,b=3D. a=-3,bR,D,3. (基础题,易)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f(x)的图象可能为( ),D,解析:由f(x)的图象可知,当x0时,f(x)先增后减再增,f(x)先大于0后小于0,再大于0,只有D项符合要求.故选D.,4. (能力题,中)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f(x)0,则必有( )A. f(0)+f(2)2f(1),C,5. (能力题,中)已知函数f(x)= x4-2x3+3m,xR,若f(x)+90恒成立,则实数m的取值范围是( )A. m B. mC. m D. m,A,解析:因为函数f(x)= x4-2x3+3m,所以f(x)=2x3-6x2,令f(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m ,不等式f(x)+90恒成立,即f(x)-9恒成立,所以3m -9,解得m .,6. (2010东北三校)(基础题,易)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+2在R上是减函数,则a的取值范围是( )A. (-,-3)B. (-,-3C. (-3,0)D. -3,0),B,二填空题7