应用光学 (第一章).ppt

1、1,应用光学,授课教师：李大海 赵悟翔,2,E-mail: ,见到同学们很高兴,授课教师：赵悟翔 办公地点：经管楼810,QQ: 914594369,3,光作为信息载体具有更强的生命力,1)光与人们的生活密切，是自然界与人交流的第一媒介,2)光的可视性，色彩斑斓,3)能携带大量的信息，速度最快,4)独立传播：空间可交错、并行、抗干扰,5)光学处理的非接触无损特性,6)显微与望远延展了人类的视野,7)与电子信息具有密不可分的天然联系,8)光是无穷大和无穷小的完美统一,4,身边有哪些光学仪器与系统？,5,应用光学研究什么？,应用光学就是研究这些诸多光学仪器的光学成像原理,投影机是一种微显示放大的光

2、学系统实例,6,什么是光学？,光学就是研究有关光的本质及其规律的科学,光学按研究对象可以分成以下几类,物理光学 研究光的波动本质,几何光学 研究光线传输及成像,生理光学 研究人身的光学现象,量子光学 研究光的量子性,7,从本质上讲，光是电磁波，它是按照波动理论进行传播。,但是按照波动理论来讨论光经透镜和光学系统是的传播规律或成像问题时将会造成计算和处理上的很大困难，在实际解决问题时也不方便。,好累！太不方便了！,8,按照近代物理学的观点，光具有波粒二象性，那么如果只考虑光的粒子性，把光源发出的光抽象成一条条光线，然后按此来研究光学系统成像。,问题变得简单而且实用！,9,几何光学：以光线为基础，

3、用几何的方法来研究光在介质中的传播规律及光学系统的成像特性。,点：光源、焦点、物点、像点 线：光线、法线、光轴 面：物面、像面、反射面、折射面,由于光具有波动性，因此这种只考虑粒子性的研究方法只是一种对真实情况的近似处理方法。必要时要辅以波动光学理论。,10,应用光学课程包括哪些主要内容？,几何光学,几何光学 - 研究光线经光学系统的传播和成像,像差理论,典型光学系统,光学系统设计,像差理论 - 成像并不理想 ，产生缺陷，或者有误差,典型光学系统 - 最常用的或已有的经典光学系统的特点,光学系统设计- 了解技术条件，使设计出的光学系统能满足这些技术条件,11,第一章 几何光学的基本定律与成像概

4、念,12,几何光学的基本定律 成像的基本概念与完善成像条件 光路计算与近轴光学系统 球面光学成像系统,13,1.1 几何光学的基本定律,14,光源,天体,遥远的距离,观察者,能辐射光能的物体。一次辐射源、二次辐射源。 点光源：光源的几何线度比观察点到光源的距离小很多。,（当光源的大小与其作用距离相比可以忽略不计时，也可认为是一个点。）,15,光线,发光点向四周辐射光能量，在几何光学中将发光点发出的光抽象为带有能量的线，它代表光的传播方向。,16,光束,一个位于均匀介质中的发光点，它所发出的光向四周传播，形成以发光点为球心的球面波。,某一时刻相位相同的点构成的面称为波面,波面的法线即为光线，与波

5、面对应的所有光线的集合称为光束,17,同心光束：发自一点或会聚于一点，为球面波,平行光束：光线彼此平行，是平面波,18,像散光束：光线既不平行，又不相交，波面为曲面。,实际做法：从光束中取出一个适当的截面，再求出其上几条光线的光路，即可解决成像问题。这种截面称为光束截面,在几何光学中研究成像时，主要要搞清光线在光学元件中的传播途径，这个途径称为光路,19,几何光学基本定律,一、光的直线传播定律 在各向同性的均匀透明介质中，光线沿直线传播。,二、光的独立传播定律 不同的光源发出的光线在空间某点相遇时，彼此互不影响。在光线的相会点上，光的强度是各光束的简单叠加，离开交会点后，各个光束按原方向传播。

6、,20,三、折射和反射定律,光的折射和反射定律研究光传播到两种均匀介质的分界面 时的定律。,（一）折射定律,I：入射角,I：折射角,21,（1）折射光线位于由入射光线和法线所决定的平面内，折射光线和入射光线分居法线两侧。,（2）入射角的正弦和折射角的正弦之比与两角度的大小无关，仅决定于介质的性质，为一恒量,22,折射率表述为：,c：在真空中光速， v：在介质中光速,真空折射率为1，在标准压力下，20摄氏度时空气折射率为1.00028， 通常认为空气的折射率也为1，把其他介质相对于空气的折射率作为该介质的绝对折射率。,提示：但是在设计高精度的太空中的光学仪器时，就必须考虑空气和真空折射率的不同。

7、,23,（2）入射角 I和反射角I的绝对值相同，可表示为,（二）反射定律,（1）反射光线在由入射光线和法线所决定的平面内,符号相反说明入射光线和反射光线分居法线两侧。,（4）光路的可逆性,24,全反射现象,一般情况下，光线射至透明介质的分界面时将发生反射和折射现象。,可知,即折射光线较入射光线偏离法线,由公式,当光由光密介质射向光疏介质时,光路可逆和全反射,25,不可能大于1，此时入射光线将不能射入另一介质。,按照反射定律在介面上全部被反射回原介质,对应于 的入射角 被称为临界角,记为,可知,26,全反射的两个条件：,（1）光密到光疏介质；,（2）入射角大于临界角；,全反射的应用：,（1）制成

8、各种全反射棱镜，用于折转光路，代替平面反射镜。,（2）制造光导纤维。,27,全反射的应用,全反射棱镜：利用全反射原理做成，用它来代替镀反射膜的反射镜，能减少光能损失，普遍用于光学仪器中。,28,光导纤维号称现代信息系统的神经,由内层折射率较高的纤芯和外层折射率较低的包层组成,29,进入光纤的光线在纤芯与包层的分界面上连续发生全发射，直至另一端出射。,S,B,A,当,大于临界角时，就发生全发射。,30,根据折射定律，又有：,可以得到：,由 得,31,定义 为光纤的数值孔径,越大，可以进入光纤的光能就越多，也就是光纤能够传送的光能越多。,这意味着光信号越容易耦合入光纤。,32,光的直线传播定律、独

9、立传播定律、折射和反射定律是几何光学的基本定律，是研究光线传播和成像问题的基础。,从上述定律可以得到光线传播的一个重要原理光路的可逆性原理。利用这一原理，可以由物求像，也可以由像求物。,33,费马原理,光从A传播到B应选择的路径？,几何路程:给定两点A和B以及连接它们的曲线C，两点间的几何路程 l 定义为位于两点之间的曲线长度。即,34,光程:定义为折射率函数与相应的几何路程的乘积，即,费马原理说，光线从一点传播到另一点的光程为稳定值(极小、极大或恒定值)。,光程等于介质的折射率常数乘几何路程，它在数值上等于光在介质中传播路程 l 所需的时间内，光在真空中传播的距离。,35,费马原理:光线从一

10、点传播到另一点的光程为稳定值(极小、极大或恒定值)。,1、光程为最小值的情况,36,2、光程为最大值,3、光程为稳定值,37,例题1:试由费马原理推导出光的折射定律,光线ADB的光程为,由图中得：,代入（1）式：,（2）,（1）,光程为极值的条件是 ，微分（2）式，得,38,而从图中可得，,代入上式，得,满足折射定律的光路，光程取最小、最大还是稳定值呢？,则有,39,而从图中可得，,代入上式，得,从 知道，满足折射定律的光路，其光程最小。,则有,作业：10,40,马吕斯定律, 同心光束：均匀介质中的一束光线当它们发自一个点光源时，我们就说它们形成一个同心光束。 这种同心光束构成一个光线束，同心

11、球面与此光线束的光线都正交。,1808年马吕斯证明，光线束在均匀介质中传播时（经过任意次的折射和反射），始终保持这与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对应点之间的光程均为定值。,意义：该定律肯定了与光束垂直的曲面永远连续存在，用波面的传播规律代替光线的传播规律，而且这些曲面按照等光程的规律传播。,41,1.2 成像的基本概念与完善成像条件,42, 光学系统通常是由一个或多个光学元件组成，而每个光学元件都是由球面、平面或非球面包围一定折射率的介质而组成。,组成光学系统的各光学元件表面的曲率中心在同一直线上的光学系统称为共轴光学系统，该直线称为光轴。,光学系统与成像概念,43,组成光学系统的各光

12、学元件表面的曲率中心在同一直线上的光学系统称为共轴光学系统，该直线称为光轴。,光学系统与成像概念,44,相应地，也有非共轴光学系统，。我们着重讨论共轴光学系统。,光学系统与成像概念,光学系统的作用就是对物空间物体成像，是对人眼的扩充和完善（物所在空间称为物空间，像所在空间称为像空间）。,45,物、像的虚实,实像可由各种各样的光能接收器接收能量，虚物一般是另一光学系统的实像。,物(像)空间 物(像)所在的空间，可从 - 到 + 实物(像)空间 实物(像) 存在的空间 虚物(像)空间 虚物(像) 存在的空间,实物(像)点 实际光线的交点(屏上可接收到) 虚物(像)点 光线的延长线的交点(屏上接收不

13、到 , 人眼可感受),46,物像共轭：P为P的像点，反之，当物点为P时，像点必在P点；它是光路可逆原理的必然结果。 P、P称为共轭点。,物空间与像空间：,规定：入射光线在其中进行的空间物空间； 折射光线（或反射光线）在其中进行的空间像空间。,n,实像,虚像,实像,虚像,47,思考：下图中各物（像）点位于哪个空间？是实的还是虚的？,48,49,(a),(b),(c),(d),实像可由各种各样的光能接收器接收能量，虚物一般是另一光学系统的实像。,50,完善成像条件,由A点发出的同心光束(球面波)经光学系统后出射仍为同心光束(球面波)会聚于A点，则A点便是A点的理想像点(或完善像点),由此得出：物点

14、A通过光学系统成完善像(理想像)于A点时，则物点A和像点A之间所有光线为等光程，称为物点成理想像的等光程条件。,51,完善成像条件,由A点发出的同心光束(球面波)经光学系统后出射仍为同心光束(球面波)会聚于A点，则A点便是A点的理想像点(或完善像点),完善像(理想像)：完善像点(理想像点)的集合。,52,由A到Ak的光程用(AAk)表示，则等光程条件可写为:,53, 设计对有限大小的物体成完善像的光学 系统是非常困难的，但对一个特定的点 成完善像只需要单个反射面或折射面即 可实现。,给定S和P两点，若有这样一个曲面，凡是从S点出发经它反射或折射后到达P点的光线都是等光程的，这样的曲面称为等光程

15、面（反射等光程面、折射等光程面）。,等光程面,54,完善像点,共轭点,等光程面,光学系统成像,55,反射等光程面,1.椭球反射面对它的两个焦点符合等光程条件,联想作图，如何画椭圆,A,A,M,56,2.无限远物点A被反射面反射成像于有限距离的A 点：,具有这样性质的曲面是 一个旋转抛物面。,抛物线上一点到焦点和准线的距离相等。,57,The 2.4m-diameter hyperboloidal primary mirror of the Hubble Space Telescope,58,This solar-thermal electric plant in the Mojave Dese

16、rt uses long rows of parabolic mirrors to focus the suns rays on pipes,which are located at the focal point of each mirror.,59,反射式望远物镜式望远物镜,卡塞格林,格里高里,60,单个界面可实现等光程条件 反射 （小结） 有限远物 A 有限远像 A ：椭球反射面无穷远物 A 有限远像 A ：抛物反射面有限远物 A 无穷远像 A ：根据光路可逆性,抛物反射面,61,1.3 光路计算与近轴光学系统,62,本节要点,光路计算与近轴光学系统,1. 子午平面、物（像）方截距、物（

17、像）方倾斜角 2. 符号规则 3. 近轴光线与近轴区，单个折射球面成像特征 4. 阿贝不变量，单个折射球面的近轴物像位置关系,63,透镜是构成光学系统最基本的成像元件，它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通过透镜时会在这些面上发生折射。因此要研究透镜成像规律必须先了解单个球面的成像规律。,64,符号规则,若干概念与术语, C：球面曲率中心。, OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n 的分界面。, OC：球面曲率半径, r。, O：顶点。, h：光线投射高度。,E,O,h,C,n,n,r,65,子午面: 包含物点（或物体）和光轴的光路截面。, 单个折射球面的结构参数： r , n ,

18、 n。,给定了结构参数和物点A后，即可确定A点的像。,A,E,O,h,C,n,n,r,66,-U, 物点A在光轴上，其到顶点O的距离OA为物方截距，用 L 表示。, 入射光线AE与光轴的夹角为物方倾斜角也叫物方孔径角，用U 表示。,A,E,O,h,C,n,n,r,-L,67,折射光线EA 由以下参量确定：,像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L表示。,像方倾斜角：折射光线EA 与光轴的夹角，也叫像方孔径角，用U 表示。,A,E,O,h,C,n,n,r,-L,-U,A,L,U,像方参数与对应的物方参数所用的字母相同，并加以“ ” 相区别。,68,只知道无符号的参数，光线可能有四种情况。要确定

19、光线的位置，仅有参量是不够的，还必须对符号作出规定。,69,符号规则,（一）光路方向,从左向右为正向光路，反之为反向光路。,正向光路,反向光路,70,（二）线段,沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。,71, 原点规定：,（1）曲率半径 r ,以球面顶点O为原点，球心C在右为正，在左为负。,72,（2）物方截距L 和像方截距L 也以顶点O为原点，到光线与光轴交点，向右为正，向左为负。,73,（3）球面间隔 d 以前一个球面的顶点为原点， 向右为正，向左为负。 （在折射系统中总为正，在反射和折反系统中才有为负的情况）,+

20、d,+d,-d,74,2. 垂轴线段：以光轴为界，上方为正，下方为负。,75,（三）角度, 角度的度量一律以锐角 来度量，由起始边 顺时针转到终止边 为正，逆时针为负。, 起始边规定如下：,（1）光线与光轴的夹角，如U, U , 以光轴 为起始边。,-U,U,76,（2） 光线与法线的夹角，如I, I, 以光线 为起始边。,77,（3） 入射点法线与光轴的夹角（球心角），以光轴 为起始边。,78,小结,光线传播方向：从左向右 b. 线段：沿轴线段 ( L, L, r ) 以顶点 O 为原点，左“ - ”右“ + ” 垂轴线段 ( h ) 以光轴为准，上“ + ”下“ - ” 间隔 d(O1O2

21、) 以前一个面为原点，左“ - ”右“ + ” c. 角度：光轴与光线组成角度 ( U,U ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到光线，顺时针“ + ”逆时针“ - ” 光线与法线组成角度 ( I,I ) 以光线为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 光轴与法线组成角度 ( ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ”,光轴光线法线，顺“ + ”逆“ - ”,79,练习：试用符号规则标出下列光组及光线的位置,（1）r = -30mm, L = -100mm, U = -10,（2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10,（3）r1 = 100

22、mm, r2 = -200mm , d = 5mm, L = -200mm, U = -10,（4）r = -40mm, L = 200mm, U = -10,（5）r = -40mm, L = -100mm, U = -10, L= -200mm,80,符号规则是人为规定的，一经定下，就要严格遵守，只有这样才能导出正确结果,81,共轴球面系统中的光路计算公式,当结构参数 r , n , n 给定时，只要知道 L 和 U ，就可求L 和 U,82,AEC中，Lr = AC , 并由正弦定理可得：,A,-L,O,E,-U,C,r,I,n,n,83,第三步：由图可知,则可知U 的大小:,则可求I

23、的大小；,A,-L,O,E,-U,C,r,A,U,I,I,n,n,84,第四步：在EAC中，CA = L-r, 由正弦定理，可得,A,-L,O,E,-U,C,r,A,U,I,I,n,n,L,85,上述四个公式就是子午面内光路计算的大L计算公式，当 n, n, r 和 L, U 已知时，可依次求出U 和 L。,子午面内光路计算大L计算公式,86,当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的光是平行于光轴的平行光，此时有 L，U0,然后再按其它大L公式计算,87,例：已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一同心光束，今取U为

24、-1、-2 、 -3 的三条光线，分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L 和像方倾斜角U ）,球面近轴范围内的成像性质和近轴光路计算公式,88,U= -1: U= 1.596415 L=150.7065mm,U= -2 : U= 3.291334 L=147.3711mm,U= -3 : U= 5.204484 L=141.6813mm,89,可以发现：同一物点发出的物方倾斜角不同的光线过光组后并不能交于一点！,轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。,减小像差的途径：,（1）多个透镜组合,（2）采用非球面透镜,！,A,E,O,C,n,n,-240mm,90, 这种通过公式来计算

25、光线实际光路的过程称：光路追迹。,光学计算位数较多，较繁复，为了避免计算错误，在求出U 后，还可以用下面校对公式进行验算,此公式不再推导。,91,折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善的，所成的像不是一点，而是个模糊的像斑，在光学上称其为弥散斑。,一个物体是由无数发光点组成的，如果每个点的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。,将物方倾斜角U限制在一个很小的范围内，人为选择靠近光轴的光线，只考虑近轴光成像，这是可以认为可以成完善像。,92,物平面以细光束经球面所成的像 1 物平面以细小光束成像,细光束， AA 完善成像 同心球面 A1AA2曲面 A1AA2 完善成像 由公式，l 变小， l 也变

26、小，平面 B1AB2曲面 B1AB2 不再是平面：像面弯曲,93,2 细小平面以细光束经折射球面成像： 对于细小平面，认为像面弯曲可以忽略，平面物 平面像，完善成像， A和A为共轭点， AE和EA互为共轭光线。 以下仅针对细小平面以细光束成像加以讨论。,94,这时U，U，I，I 都很小，我们用弧度值来代替它的正弦值，并用小写字母表示。,同时L，L也用小写表示。,95,则大L公式可写成：,称为小 l 公式,96,当无限远物点发出的平行光入射时，有,继续用其余三个公式。,小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式,O,E,C,r,i,n,n,h,97,例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm,

27、n=1, n=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l , u,与大L公式计算的结果比较：L=150.7065mm.（1）,98,可得：,左边是物方参量，右边是像方参量,中的 i, i 代入,近轴光学的基本公式和它的实际意义,一、物像位置关系式,99,对于近轴光而言，AE= - l ，EA= l , tgu = u, tgu = u,有： l u = l u = h,将上式代入 ，消去 l , l ,整理后得：,100,也可表示为,上式称为单个折射球面物像位置公式,101,上述三个公式是一个公式的三种不同的表达形式， 中间的公式表示成不变量Q的形式，

28、称为“阿贝不变量”。, 它表明：当物点位置一定时，物空间和像空间的Q值相等。,102,给出了u 和 u 的关系,给出了l 和 l 的关系,其中：,103,（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距,可见，当（n-n )/r 一定时，l 仅与 l 有关。 由折射球面的物像位置关系 若 n 、n、 r 一定，则l 变化 l 变化。 所以量 表征折射面偏折光线的能力 ，称光焦度 另一方面， 一定，但 L 变化时， L 也会变化,104,由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可知，l 与 u 无关。 这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到一点，也就是所成的像是完善的。,

29、由近轴细光束成的完善像称为高斯像, 光学系统在近轴区成像性质和规律的光学称为高斯光学或近轴光学。,105,在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正弦展开成级数，可得：,用代替了sin，误差是后面各项的和。 愈大，误差愈大，很小时才有足够的精度。,误差所允许的范围就是近轴区的范围，它由相对误差,的大小来确定。,例： 5o,106,1.4 球面光学成像系统,107,本节要点,球面光学成像系统,1.垂轴放大率、沿轴放大率、角放大率：物理意义及关系 2.球面反射镜的物像位置关系 3. 拉氏不变量，共轴球面系统的成像放大率,108,轴上点成像只需知道位置即可，但如果是有一定大小物体经球面成像后，只知

30、道位置就不够了，还需知道成像的大小、虚实、倒正。,二、物像大小关系式,109,（一）垂轴放大率,垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y ,则, 称为垂轴放大率或横向放大率,A,-l,O,E,-u,C,r,A,u,n,n,l,h,y,-y,B,B,110,ABC ABC 有：,由阿贝不变量公式可得：,代入上式,可得：,可见只取决于介质折射率和物体位置。,A,-l,O,E,-u,C,r,A,u,n,n,l,h,y,-y,B,B,111,根据的定义和公式，可以确定物体的成像特性：,（1）若0, 即 y 与 y 同号，表示成正立像。反之成倒立像。,对垂轴放大率的讨论,112,（2）

31、若0, 即 l 与 l 同号，表示物象在折射球面同侧，物像虚实相反。反之l 与 l 异号，物像虚实相同。,可归结为： 0, 成正立像且物像虚实相反。 0, 成倒立像且物像虚实相同。,113,（3）若| 1, 则| y | | y |，成放大 像， 反之 |y | | y |，成缩小 像,还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小，则增大,114,（二）轴向放大率,轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像点移动量 dl 与 dl 之比，用表示。,对公式,微分，有,115,整理后,由于,所以,116,（1）折射球面的轴向放大率恒为正，说

32、明物点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。,（2）轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面不可能获得与物体相似的立体像。,讨论：,（3）公式应用条件：dl 很小。,117,（三）角放大率,在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u 与 u 的比值，用表示,A,-l,O,E,-u,C,r,A,u,n,n,l,h,y,-y,B,B,118,可得,上式两边乘以n/n，并利用垂轴放大率公式，可得,上式为角放大率与垂轴放大率之间的关系式。,角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关,119,将轴向放大率与角放大率公

33、式相乘，有：,上式为三种放大率的关系。,即：,120,J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质，在物方参数固定后，通过改变u 来控制y 的大小，也就是可以通过控制像方孔径角来控制垂轴放大率。,上式称为拉格朗日赫姆霍兹公式，它表明实际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面内，其n，u，y或n，u，y 的乘积为一常数 J。,121,例2-3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l=151.838mm，现求, y （垂轴放大率与像的大小）,解：,0：,|1：缩小,倒立、实像、两侧,122,上例中，若

34、l1= - 100mm， l2= -30mm, 求像的位置大小。,当 l1= - 100mm 时： l1=365.113mm 1= - 2.4079 y1= - 48.1584mm,放大倒立实像，两侧,利用公式,123,当l2= - 30mm 时： l2= - 79.0548mm 2= 1.7379 y2= 34.7578mm,放大正立虚像同侧,124,球面反射镜成像,球面反射镜的物像位置关系 球面反射镜的成像放大率 球面反射镜的拉赫不变量,125,球面反射镜的物像位置关系,126,球面反射镜 的像方焦距,127,将,得,球面镜成像 的另一公式,128,球面反射镜的成像放大率,129,球面反射镜的轴向放大率恒为负 物和像的移动总是相反，但在偶数次反射 时，恒为正。,对于凸球面反射镜 总成缩小正立虚像,虚像,正立 缩小,130,球面反射镜的拉赫不变量,将,代入,得球面反射镜的拉赫公式,131,一. 过渡公式,现在已知 l1 和 u1，要求l2 和 u2,共轴球面系统,132,（1）用公式小 l 公式算出光线经第一个折射面后的像方截距 l1和孔径角u1 ,问题分两步解决：,133,（2）将第一个面的出射光线作为第二个面的入射光线，再利用小l公式求解最终的 l2和u2 ,将第一个折射面像空间参数转化为第二个折射面物空间参数，称为过渡公式。,注意：,134,推而广之，如果有 k 个折射球