《名师伴你行》人教A版数学必修五第二章学案4+等比数列.ppt

1、开始,学点一,学点二,学点三,学点四,这个常数,1.一般地，如果一个数列 . ，那么这个数列叫做等比数列， 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 (q0). 2.等比数列的通项公式为 . 3.如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a和b的 ，且G2= .,an=a1qn-1,等比中项,ab,学点一等比数列的定义,【分析】只需研究 的值是否为常数，而不管n(nN*)如何变化.,试判别下列数列是否为等比数列. （1）an=(-1)n-1( )n,nN*; （2）an=(-2)n-3,nN*; （3）an=n2n,nN*; （4）an=-1,nN*;,【解析】,【评析】

2、,设数列2logob,4 logab,8 logab,(2n) logab,(a,b为大于0的常数且a1). （1）求证：数列为等比数列； （2）若数列又为等差数列，求b的值.,解：（1）证明：设数列为xn，则xn =(2n)logab. ,为常数, xn为等比数列. （2）xn为等差数列，, xn+1- xn =(2n+1)logab-(2n)logab =2nlogab (2logab-1)=常数， 2logab-1=0,2logab=1, logab=0, b=1.,学点二 应用公式求基本量,【分析】由已知条件列出关于a1,q的方程（或方程组），或有关量的方程（或方程组）.,在等比数列a

3、n中， （1）已知a3=9,a6=243,求a5; （2）已知a1= ,an= ,q= ,求n; （3）已知a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求n.,【解析】,【评析】,已知三个数成等比数列,若第二个数加4就变成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.,解：解法一：设这三个数分别为a1,a2,a3，根据已知条件得,学点三 等比数列的性质,【分析】本题主要考查等比数列的定义、性质及等比中项的灵活运用.,在等比数列an中， （1）若已知a2=4,a5=- ,求an; （2）若已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.,【解析】,【评析】等比数列通项公式

4、推广结论an=amqn-m适用于m,nN*中任意值，可以nm，也可以nm.,（1）若数列an是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的 积,且T8=T4,则当Tn取最小值时,n的值等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 （2）在各项均为正数的等比数列an中，a4a8=4,a6a10+ a3a5=41,则a4+a8= .,解：（1）由T8=T4，a5a6a7a8=1,又a5a8=a6a7=1,且数列an是正项递增数列，a5a61a7a8,因此T6取最小值. 故应选B.,B,7,（2）an为等比数列，a6a10=a28，a3a5=a24，从而有a28+a24=41， （a4+a8）2=a28+a2

5、4+2a4a8=41+24=49. 数列各项都为正，a8+a4=7.,学点四 判定一个数列是等比数列,（1）已知数列cn，其中cn=2n+3n,且cn+1-Pcn为等比 数列，求常数P; （2）设an,bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+ bn，证明数列cn不是等比数列.,【解析】（1）cn+1-Pcn是等比数列，故有(cn+1-Pcn)2=(cn+2-Pcn+1)(cn-Pcn-1)， 将cn=2n+3n代入上式，得,【分析】（1）由等比数列的性质: 列恒等式求出P. （2）判定一个数列不是等比数列，只要找相邻三项不满足 成立即可，但通常只要验证前三项满足 即可下结论.,2pq=p2

6、+q2成立，即(p-q)2=0.故p=q，与已知矛盾.故cn不是等比数列.,【评析】证明或应用数列为等比数列时常用下列关系式： (q0)或 ,而证明数列不是等比数列常用特殊值法.,设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1,Sn+1=4an+2. （1）设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列； （2）求数列an的通项公式.,解：,1.如何理解等比数列的定义？ 在等比数列中我们特别强调： （1）每一项与它的前一项的比是同一个常数，且具备任意性. （2）每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是同一个. （3）每一项与它的前一项之比是有序的，这种顺序决定了q的值. （4）公比q0，这是必

7、然的，也就是不存在q=0的等比数列.我们还可以理解为在等比数列中，不存在数值为0的项.,2.如何理解等比数列的通项公式？,对于公式an=a1qn-1(nN*): （1）此公式成立的条件是nN*,q0，也就是n取1,2,3,. （2）此公式是按定义推导出来的： ,an+1=anq.这是等比数列通项公式的一种递推关系的表现形式.运用这一递推关系，在教科书中用观察法（或不完全归纳法）推导得出an=a1qn-1.此公式还可以用其他方法得到，如依等比数列定义得 , ，将这n-1个式子两边分别相乘即得an=a1qn-1.,（3）an=a1qn-1可得 ,与函数y=qn比较，可以用指数函数y=qx的研究方法

8、来研究an，特别是当q0且q1时， 是一个不为0的常数与指数函数的积，所以等比数列的图象是横坐标为自然数的同一条指数函数上的一些离散的点.,3.如何理解等比中项的定义？,如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a和b的等比中项，其中G2=ab(或 ). 三个数a,G,b成等比数列的一个必要不充分条件是G2=ab. 若求两个数a,b的等比中项G，则G一定有两个值.如,求2,8的等比中项G，则G=4. 在解决实际的三个数成等比数列的问题中，我们经常把这三个数设为 ,a1,a1q.,4.等比数列有什么样的性质？,（1）在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数

9、列. （2）在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列.如：等比数列a1,a2,a3,an,.那么a2,a5,a8,a11,a14,; a3,a5,a7,a9,a11,各自仍构成等比数列. （3）如果数列an是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列c an仍是等比数列. （4）如果an,bn是项数相同的等比数列，那么数列anbn， 仍是等比数列. （5）在等比数列an中的任何两项可以互相表示为：an=amqn-m. （6）在等比数列an中，若m+n=p+q，则aman=apaq.,1.必须准确的理解和掌握等比数列的概念，掌握通项公式，通项公式a

10、n=a1qn-1的四个基本量a1,n,q,an以及各个量的作用，在解决实际问题时，能够熟练地找到基本量，用它们表示出an,或者用an含代基本量a1,q构造方程、方程组,最后求得a1及q，也正是高考中要考查的函数思想、方程思想和公式的灵活运用. 2.在等比数列中，除基本公式外，还要注意公式的变换.如an=amqn-m(n,mN*,mn),还有其他的性质，当m,n,p成等差数列时，am，an,ap成等比；当m+n=p+r时,aman=apar等，在高考题中，经常考查及应用.运用好性质解题，使解答简捷明了，赏心悦目.,3.在等差数列与等比数列中，有很多类似的性质.如果在解题时，巧妙、灵活的应用，会收到更好的效果.但在运用时，要注意两者的异同.如:定义中