1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

1、1.2独立性检验的基本思想及其初步应用,对于性别变量,其取值为男和女两种.,这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.,生活中的分类变量,是否吸烟,宗教信仰,国籍,我们常常关心两个分类变量之间是否有关系。例如吸烟与患肺癌是否有关系？性别是否与喜欢学习数学有关系？,某肿瘤研究所为了了解患肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人，调查结果是：吸烟的2148人中49人患肺癌， 2099人不患肺癌；不吸烟的7817人中42人患肺癌， 7775人不患肺癌。,根据这些数据能否断定：患肺癌与 吸烟有关吗？,问题:,-5-,

2、知识梳理,为了研究这个问题，我们将上述问题用下表表示：,列22联表,在不吸烟者中患病的比重是,在吸烟者中患病的比重是,0.54%,2.28%,-6-,知识梳理,通过图形直观判断,不患病 比例,患病 比例,上述结论能判断吸烟与患病有关吗？,等高 条形图,从上面数据和图形可以看出吸烟和患肺癌有关,从上面数据和图形可以看出吸烟和患肺癌有关,事实是否如此?,这种判断是否可靠，我们能够有多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关呢”？,知识梳理,假设H0：吸烟和患病之间没有关系， 列出22列联表,如果：吸烟与患肺癌没有关系，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即,|ad-bc|越小，说明吸

3、烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。,知识梳理,为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量,（1）,独立性检验,作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 。,通过公式计算,解：H0:吸烟和患病之间没有关系,独立性检验,通过查阅下表确定临界值：,已知在 成立的情况下，,故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不超过0.010,即在 成立的情况下， 大于6.635概率非常小，近似为0.010,现在的 =56.632的观测值远大于6.635，出现这样

4、的观测值的概率不超过0.010。,这个值到底能告诉我们什么？,0.1%把握认 为A与B无关,1%把握认为A与B无关,99.9%把握认 为A与B有关,99%把握认 为A与B有关,90%把握认 为A与B有关,10%把握认为 A与B无关,没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关,独立性检验的步骤,第一步：H0： 吸烟和患肺癌没有关系 第二步：列出22列联表,第三步：计算：,第四步：查对临界值表，作出判断。,独立性检验的定义,上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。,例1.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一

5、年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防感冒的作用？,解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。,因当H0成立时，26.635的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。,独立性检验的基本思想：,类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度的判断：,（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量 没有关系”成立.,（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理.,（3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度

6、，由实际计算出的k6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.,反证法原理与独立性检验原理,在假设H0下,如果推出一个矛盾,就证明了H0不成立.,在假设H0 下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,就推断H0 不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.,PK,-19-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的K2的观测值越大. () (2)由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有99

7、%的可能物理成绩优秀. (),-20-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,答案,2、下面是一个22列联表,则表中a,b处的值分别为（ ） A、94，96 B、52，50 C、52，54 C、54，52,-21-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,答案,3、随机抽取105个行人，了解他们的性别与是否遵守交通规则之间有没有关系， 经过计算得K2=10.59 ，根据这一数据分析。我们有 _ 把握认为性别与是否 遵守交通规则有关系,-22-,知识梳理,双击自测,2,3,4,1,4.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了1 671人,经过计算K2的观测值k=27.63,根据这一数据分析,我们有理由认

8、为打鼾与患心脏病是的(填“有关”或“无关”).,答案,解析,解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。,因当H0成立时，21.3896的概率大于10%，故不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。,2.706,例2：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？,例5：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？,解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。,因当H0成

9、立时，210.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异。,例4某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表： 根据表中的数据，判定主修统计专业与性别有关系，则这种判断出错的可能性为多少？ 解：根据表中的数据，得到,因为k 3.841 ，所以判定主修统计专业与性别有关系，则这种判断出错的可能性为5%,-26-,方法总结有关独立性检验的问题要注意: (1)两个明确: 明确两类主体; 明确研究的两个问题. (2)两个关键: 准确画出22列联表; 准确理解K2.,-27-,对点练习为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下: (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.,-28-,解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助, 因此该地区老年人中