计算机控制系统分析1稳定性分析

1、第四章 计算机控制系统分析,4.1 稳定性分析 任何系统在扰动作用下，都会偏离原来的平衡工作状态。所谓稳定性是指当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称系统是稳定的，否则为不稳定的。系统的稳定性是系统固有特性，它与扰动的形式无关。,因 (4.1) 用 代入 这样，复变量Z的模值R及相角 与复变量S的实部与虚部的关系是 (4.2) （4.2）式就是S平面与Z平面的基本对应关系。,1. S平面与Z平面的相互关系,具体映射关系为： （1）S平面虚轴映射为Z平面单位圆（ 为0 ，) S左半平面映射在Z平面单位圆内（为 负， ） S右半平面映射在Z平面单位圆外（为 正，

2、 ）,(2）角频率与Z平面相角关系 角频率 与Z平面相角的关系为 ,当S平面的点沿虚轴由 变化到 时，Z平面的相角也从 变化到 .Z平面相角从0变化到 （即旋转一周）,相当S平面 变化一个 。因此在S平面虚轴上 从 变化到 时，Z平面上相角将转无穷多圈。,表4.2 角频率 与Z平面相角的关系,（3）S平面上的主带与旁带，重复映射在整个Z平面上 S平面上可划分成许多宽度为的平行带子，其中 的带子（从）称为主带，其余均称为旁带。由于Z平面的相角每隔一个转一转，结果主带映射为整个Z平面，而其余每一个旁带也都重叠映射在整个Z平面上，见表4.3、图4.1、4.2。,图4.2 旁带映射,图4.1 主带映射

3、,例4.1 如图4.3所示，在S平面上有3个点，分别为，若，求Z平面的映射。,解：,（4）S平面上实轴的平行线（即等频率线），映射到Z平面是从原点出发的射线；S平面上虚轴的平行线（即等衰减系数线），映射到Z平面是同心圆。见表4.3，图4.4，图4.5。,图4.4 实轴并行线的映射,图4.5 虚轴并行线的映射,（5）S平面上等阻尼比线的映射 设S平面上有一对共轭复极点，它的二阶振荡系统特征方程 的根。 (4.3) （4.3）式中， 为阻尼比， 为无阻尼自然振荡频率。,图4.6 等阻尼比较及其映射,式（4.4）表示，阻尼比 相同的特征根轨迹是从原点出发的射线。在该射线上，特征根的图4.6（a）表示

4、了特征根与 和阻尼振荡频率 之间的几何关系。从图中可见： (4.4) 实部可用其虚部 来表示，即,将上式映射至Z平面得 由上两式可见，当 （即阻尼比 ）为常值时，映射至Z平面，其模值随 指数衰减，其相角随 线性增长，构成一条对数螺旋线，见图4.6（b）。,（6）S左半平面主带的映射。 当S平面的点沿主带左半平面的周边走1圈时，其映射关系可用图4.7表示。,表4-5 主带左半平面的映射,表4-5 主带左半平面的映射,图4.7 S平面主带左半平面的映射,通过图4.7的说明，可以清楚地看到，S左半平面的主带是如何具体地映射到Z平面单位圆内的。同理，S左半平面的旁带也可以同样方式重叠映射到Z平面单位圆

5、内。,（7）S右半平面主带的映射,主带右半平面的数学表达式为 根据与前述相同的分析方法，可得出S右半平面主带区在Z平面上映射为单位圆的外部区域，如图4.8所示。,图4.8 S平面主带右半平面的映射,根据与前述相同的分析方法，可得出S右半平面主带区在Z平面上映射为单位圆的外部区域，如图4.8所示。,2离散系统的稳定性,根据S平和Z平面的映射关系，离散系统稳定的充要条件是系统的特征全根部位于Z平面的单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为系统不稳定。,若该脉冲传递函数为 个单极点 ，则 (4.7) 反变换后 (4.8) 要使系统稳定，当 时,

6、 衰减为零， (4.9) ，故 ，即特征根的模应小于1，即位于单位圆内。,上述结论，对 Y(z) 中有重根时也成立。为了解系统的稳定性，就需要求出它的全部特征根，但这对高阶系统是很困难的。下面介绍Z平面的稳定性判断其他方法。,4.2 离散控制系统的稳定性分析,本节首先讨论线性定常离散系统的稳定性分析，主要介绍z域中的朱雷（Jury）和劳斯稳定判据。进一步讨论李雅普诺夫稳定性分析。,朱雷稳定性判别表的规范格式，如表4.6所示。,在表4.6中，第一、第二行的元素是由 多项式的各项系数组成的。第一行是按 的升幂次序排列；第二行是按 的降幂次序排列。,在表4.6中，偶数行的各元素是它的前面奇数行的元素

7、按相反次序排列而成。,朱雷稳定判据是：当由(4.6)式所示的系统的特征方程式满足下述条件时，那么该系统是稳定的，即,例4.2 已知系统的特征方程式为 试构成稳定判别表并写出稳定性条件,解：参照表4.6，并考虑到 和 计算上的方便性，对表4.6的格式略作修改后，可构成一个4阶系统的稳定性判别表，如表4.7所示。,表4.7 例4.2 4阶系统的稳定判别表,在表4.7中，每一行的左边给出了计算 和 的行列式，右边写出了 和 的值。,该系统稳定的条件是,（1） （2） （3） 偶数 （4）,解：首先列出z多项式的系数为,例4.3 已知系统的特征方程式为 试判别系统的稳定性。,显然，第1个条件， 是满足

8、的。现检查第2个条件，因为 上式表明，至少有1个根在 处，因此该系统最多是临界稳定的。现检查第3个条件，,因为 n=3=奇数. 显然，第3个条件是满足的。,现检查第4个条件，由行列式 计算得 和 ，因此 ，所以 第4个条件也是满足的。,由上述分析可见，该特征方程的根，有1个处在单位圆上 ，其余两个根处在单位圆内，故该系统是临界稳定的。,例4.4 已知系统的开环脉冲传递函数为 试用朱雷稳定判据，求闭环离散控制系统为稳定时的增益K值的范围。,因为这是1个2阶系统，所以稳定判据的条件是 （1） （2） （3） 偶数,因为， 所以满足第1个条件，可得 或,满足第2个条件，可得 即,满足第3个条件，可得

9、 即,同时满足上述3个条件，可得增益K的范围为,必须指出，离散控制系统与连续系统不同，在离散控制系统里，采样周期是系统的一个重要参数，它的大小影响上述特征方程 中z的各阶次的系数，可见对闭环系统的稳定性有明显的影响。现举例说明如下：,例4.5 已知某离散系统的开环传递函数为 现讨论采样周期T对系统稳定性的影响。,解：考虑零阶保持环节后，系统开环组合Z传递函数为,闭环系统的特征方程式为,为了使系统稳定，要求特征根在单位圆内，即 得，,取 ，则 ； 取 ，则 ； 取 ，则 。 可见，当采样周期减小时，使系统稳定， 的范围将增大。,结论：采样系统的稳定性比连续系统差，如对开环传递函数 的连续系统，在

10、 时均是稳定的。而在采样系统中， 必须限制在一定范围内。 采样周期T也是影响稳定性的参数，T减小，稳定性增强,（2）双线性变换的劳斯稳定判据,分析离散控制系统稳定性的另一个方法是双线性变换的劳斯稳定判据。这种方法的优点是比较简单、直接。但相对朱雷判据来说，计算量比较大。在应用双线性变换的劳斯判据时，首先需要从z平面变换到另一个W 复平面中，所以称为双线性变换。,现在定义双线性变换式为 （4.12） 由（4.12）式，可得 （4.13）,从下面的分析中，可以得到证明，在 平面中的单位圆映象为 平面中的左半平面。,因为，在 平面中的单位圆内，可表示为,将 W 分解为实部 和虚部 两部分。即 （4.

11、14）,或 （4.15） 由(4.15)式，得 （4.16） 即 （4.17）,（4.17）式表明：在z平面中的单位圆的内部 ，相当于 W 平面中的左半平面。在z平面中的单位圆的圆周，映象为W平面的虚轴。在z平面中的单位圆的外部，映象为W平面的右半平面。,在用双线性变换进行稳定性分析时，首先用 替代特征方程式中的z。,例如，特征方程式为 （4.18） 经过上述替换后，可得 （4.19）,将（4.19）式的等号两边乘上 ，可得 （4.20） 这样，就可以在W域中使用劳斯稳定判据，用分析连续系统稳定性方法来分析离散系统的稳定性。,例4.6 已知离散控制系统的特征方程式为 试用双线性变换的劳斯判据，

12、分析该离散系统的稳定性,解：将特征方程式中的z用 来替换，得,将上式的等号两边乘上 并经简化后，得 对上式列出的劳斯阵列为 （4.21）,上述劳斯阵列中的第1行，即 W 的最高阶次行，由 中偶数项的系数组成，即 上述劳斯阵列中的第2行，即 W 的次高阶次行，由 中奇数项的系数组成，即,以下各行元素需要进行计算，即上述劳斯阵列中的第3行改为C1,C2,C3,等均需进行计算。,计算的公式如下： 其余依次类推。,根据上述计算，得例4.6的劳斯阵列，如式（4.21）所示。,劳斯稳定判据为 （1）劳斯阵列中，若第1列元数均为正或均为负，则系统稳定。 （2）若第一列元数的符号有变化，其变化的次数，即为单位圆外根的个数。 因为在上述阵列中的第1列元素中，有一次符号的改变，故有一个根在单位圆外，该系统是不稳定的。,劳斯稳定判据的特殊情况： （1）在劳斯阵列中，若任意一行中的第一个元素为零，其他不为零； （2）在劳斯阵列中，若任意一行中的所有元素均为零。,若遇到上述情况，为劳斯阵列的特殊情况。这种情况的产生，表示零元素上面一行的方程中有： 相反符号的实根对； 有一对虚根； 有一对称原点的共轭复数根。,发生上述情况时，劳斯阵列需作特殊处理。对第1种情况，即第一个元素为零，可作如下处理。用一个小的正 ， 或小的负 来代替零元素。（正 还是负 ，视零元素上一行的符号而定。若零元素