1.4.1曲边梯形的面积与定积分.ppt

1、曲边梯形的面积与定积分,微积分在几何上有两个基本问题,1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；,2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。,直线,几条线段连成的折线,曲线？,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？,为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形,对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲),演示,当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示小曲边梯形

2、的面积,表示了曲边梯形面积的近似值,演示,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，

3、注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。,下面方案“以直代曲”的具体操作过程,（1）分

4、割,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,（2） 近似代替,（3）求和,（4）取极限,分割,近似代替,求和,取极限,f(xi),f(x1),f(x2),f(xi)xi,在 a, b中任意插 入 n -1个分点,得n个小区间： xi1 , xi (i=1, 2 , , n),把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形,任取xi xi1，xi ，以f (x i) Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积,区间xi1 , xi 的长 度Dxi xi xi1 ,曲边梯形的面积近似为：A,分割,近似代换,求和,取极限,（类似方法求变力做功）,曲边梯形的

5、面积近似为：,弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。,解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，,将0，b n等分，记x= ，,分点依次为x0=0，x1= ，x2= ,，xn1= ，xn=b，,当n很大时，在分段xi，xi+1所用的力约为kxi，所做的功Wkxix=,则从0到b所做的总功W近似地等于,当n+时，上式右端趋近于,于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为,以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意

6、义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题.,1. 曲边三角形或梯形的面积 S=,2.克服弹簧拉力的变力所做的功 W=,类似地问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦心研究，得到了解决这类问题的一般方法。求函数的定积分。,定积分的概念,一般函数定积分的定义,设f(x)是定义在区间a，b上的一个函数，在闭区间a，b上任取n1个分点,把a，b分成 n个小闭区间，其长度依次为x=xi+1xi，i=0，1，2，n1，记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内各取一点，,其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，a，b称为积分区间，a, b分别称为积分的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时称f(x)在区间a，b上可积。,于是例1的结果可以写作,例2中克服弹簧拉力的变力所做的功,如果函数y=f(x)在区间a，b上是一条连续的曲线，