10.1 微分方程的基本概念.ppt

1、第十章微分方程与差分方程,10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程 10.3 高阶微分方程 10.4 差分方程的基本概念 10.5 一阶常系数线性差分方程 10.6 二阶常系数线性差分方程 10.7 微分方程与差分方程在经济学中的应用,微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往 往很难直接得到所研究变量之间的函数关系, 但却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的关系, 从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程, 即微 分方程. 微分方程是数学联系实际, 并应用于实际的重要途 径和桥梁, 是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 在自然科学, 生物科学以及经济与管理科

2、学中的许多 问题都可以建立起微分方程的数学模型. 例如, 物体的 冷却、人口的增长、电子波的传播等.,微分方程是一门独立的数学学科, 有完整的理论体系. 本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常见的微 分方程求解方法. 本章还介绍差分方程的一些基本概念 及一阶、二阶常系数线性差分方程求解方法.最后将简 单地介绍微分方程和差分方程在经济学中的应用.,10.1 微分方程的基本概念,一. 引例,二. 微分方程的概念,一. 引例,例1 已知曲线通过点(0,1)且在该曲线上的任一点,义知道, 未知函数 应满足关系式,并且满足下列条件,将方程(10.1.1)两端积分, 得,例2 某种商品的需求量 Q 对

3、价格 p 的弹性为 -1.5p. 已知该商品的最大需求量为800(即 p = 0 时的需求量) , 求 需求量 Q 与价格 p 的函数关系.,解 设所求的函数关系为 Q = Q (p),则由题意可知，它应满足,由（10.1.4），得 C= 800.,即得所求函数关系为,将(10.1.3)式整理积分，得,上述两个例子, 有一个共同特点：,它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导 数的方程的求解问题. 数学上, 人们把这种方程称为微 分方程.,定义10.1.1 含有未知函数的导数(或偏导数)的方程, 称为 微分方程. 当未知函数是一元函数时, 称为常微分方程; 当 未知函数是多元函数时, 称

4、为偏微分方程. 微分方程有时也 简称方程.,二. 微分方程的概念,例如, 方程,等都是常微分方程.,等都是偏微分方程.,而方程,定义10.1.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数 的阶数, 称为微分方程的阶.,例如, 方程,都是一阶微分方程,为二阶微分方程.,一般地, n阶微分方程的形式为,其中 F 是 x, y , y, , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y 为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).,其中 f 是 x , y , y, , y ( n - 1) 的已知函数.,n阶微分方程的另一种形式为,如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数 都是一次的, 则称方程

5、为线性微分方程. 线性微分方程的一 般形式为:,其中 a1(x) 、a n-1 (x)、 a n (x), f (x) 都是 x 的已知 函数 .,其他形式的微分方程, 统称为非线性微分方程.,例如,是线性微分方程,是非线性微分方程,定义10.1.3 设函数 y =(x) 在区间上有连续的n阶导数, 并且对任意的 x,均有,则称函数 y = (x) 为微分方程在区间上的解.,可以验证函数,定义10.1.4 若n阶微分方程的解中, 含有n个独立任意常 数，则称其为方程的通解; 若n阶微分方程的解中不含有 任意常数，则称其为方程的特解.,例如,确定n阶微分方程通解中n个独立的任意常数时, 通 常附

6、加如下条件：,我们称这组条件为微分方程的初始条件. 微分方程满 足初始条件的求解问题称为初值问题. n阶微分方程的初 值问题通常记作,微分方程解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积 分曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通,例3 验证 函数 y = C1cosx + C2 sinx + x 是微分方程,的特解.,的通解. 并求满足初始条件,解 求出所给函数的导数,C1 cosx C2 sin x + C1cos x + C2 sin x + x x,于是函数 y = C1cos x + C2 sin x +x 是给定方程的解.,又因为解中含有两个独立的任意常数，所以函数,y = C1 co