概率论课件--1_3条件概率23p.ppt

1、,第一章,第三节,条件概率及事件 的相互独立性(23),二、全概率公式及贝叶斯公式,三、事件的相互独立性,一、条件概率及乘法公式,一、条件概率和乘法公式,在实际问题中,例1.,除了要知到事件A 的概率 P(A) ,要知道“在事件B发生的条件下,事件A的概率”,这个概率,称为条件概率,一般说来,P(A) 与 P(A|B)是,有时还,不同的.,请看下面的例题.,记作 P(A|B) .,箱子中有100件同型号的产品,其中70件(50件正品,20件次品)来自甲厂,30件(25件正品,5件次品)来自乙厂,现从箱子中任取1件产品:,(1) 求取得次品的概率;,(2) 求取得甲厂产品的概率;,(3) 已知取

2、得的是甲厂的产品,求取得的是次品的概率.,记 A =取得次品,B =取得甲厂产品,AB =取得次品,且是甲厂的产品,解:,A|B =已知取得的是甲厂产品的条件下,取得的是次品,由古典概率计算法可得:,此外有,对于问题(3),由于增加了一个条件“已知取得的是甲,厂产品”,所以该问题实质上就是从甲厂70件产品(50件,此例表明:,正品,20件次品)中,任取一件,求取得的是次品的概率,显然有:,但是有,公式:,但它对一般情形也是正确,的.,由此可给出条件概率的定义.,虽然是从特殊的例子得到的,定义1,设 A , B 是两个随机事件,且 P(B) 0,则称,为在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的

3、条件概率.,由条件概率的定义可知:,显然,条件概率有如下性质:,非负性:,规范性:,当 P(A) 0时,在事件A发生的条,件下,事件 B 发生的条件概率为,由(1)、(2)两式立即可得:,(3)、(4)两式称为概率的乘法公式.,以上公式还可推广到三个事件的情形：,一般地，有下列公式：,例2.,一盒中有12只晶体管,其中4只是坏的,8只是好的，,在盒中任取两次,第一次取出的不再放回,已发现第一只是好的,求第二只也是好的概率.,解:,每次取一只,若,设Ai=第i只是好的i=1,2,依题意要求的是,由于,所以,此题也可用缩小样本空间的方法求解.,在取出第1只是,例3.,笔筒中有n只考签,其中有1只难

4、签,n个人依次从,中各抽1只考签,求第i 个人取得难签的概率.,解:,设Ai=第i个人取得难签i=1,2,n.,显然,又,于是,好的条件下,盒子中还剩11只晶体管,其中7只是好的,再取出1只是好的概率为,因此有,类似有,依此类推,最后可得:,此例表明:,每个人抽到难签的概率是相同的,均为,推算未知的复杂,全概率公式是从已知简单事件的概率,二、全概率公式和贝叶斯公式,定义2.,A2,A1,An,事件概率的有效公式,而贝叶斯公式则为我们判断某种,结果生成的原因提供了理论依据.,设,是随机试验 E,的一组事件,若满足,两两互不相容,即有,且满足,则称此事件组为样本空间,的一个完备事件组,(或样本空间

5、的一个划分).,定理1,设,是样本空间的一个完备事件组，,且,则对任何事件B，,有,此式称为全概率公式.,此式称为贝叶斯公式.,证:,(1) 因,(2) 当P(B) 0时,是样本空间的一个完备事件组,故有,且,两两互,不相容,由概率的可加性及乘法公式知公式,成立.,(2) 由条件概率计算公式,证毕.,例4.,甲、乙、丙三台车床加工同样的零件,它们出废品,的概率分别为0.03 , 0.04 , 0.02 ,加工出来的零件放在一,起,并且已知各车床的产量分别占总量的50%, 25%,25%,求:,(1)任意取1件产品它是合格品的概率;,(2) 若任取一件产品是合格品,它是乙车床加工的概率.,解:,

6、加工的,设,分别表示取出的零件是甲、乙、丙车床,B 表示取出的零件是合格品,依题意知,是样本空间的一个完备事件组.,(1) 由全概率公式,(2) 由贝叶斯公式,依题意有:,由贝叶斯公式可得:,例5.,商店按箱出售玻璃杯，,每箱20只，,其中每箱含0，1，,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，,某顾客选中一箱，,从中,结果都是好的，,便买下了这一箱.,问顾客买,下的这箱玻璃杯有1只次品的概率是多少？,解:,设A表示事件:从一箱中任取4只检查结果都是好的.,分别表示每箱含0，1，2只次品的事件.,任选4只检查,则,构成样本空间的一完备事件组.,且,三、事件的相互独立性,对于随机试验的两

7、个事件A和B,这表明事件B 的发生与否对事件A的发生是有影响的,一般有,只有,当P(A | B) = P(A)时,才可以认为这种影响不存在,即A与B,是独立的.,由条件概率公式,例如在产品质量抽检中,如果做有放回抽取,那么两次抽取显然是互不影响的.,或,可知:,当P(A) 0 时,当P(B) 0 时,由此引出事件相互独立的定义.,定义3:,若两事件A , B 满足 P(AB) = P(A) P(B),则称A与B,相互独立.,则事件A , B 相互独立的,定理2:,设P(A) 0 , P(B) 0 ,的充分必要条件是,根据两事件相互独立的定义,即可得到下述定理:,P(A|B) = P(A) 或

8、P(B|A) = P(B) .,推论:,若事件A与B相互独立,也相互独立.,则事件,证:,仅证,也相互独立,其它类似可证.,由于,而,互不相容,则有,即有,因此,也相互独立.,证毕.,例6.,甲,乙两枚地对空防空导弹同时拦截敌机,已知甲,解:,记,A =甲击中敌机,则有C = AB .,由于甲,乙击中敌机,即有,所以有,因此,击中敌机的概率为0.8,乙击中敌机的概率为0.9,求敌机,被击中的概率.,B =乙击中敌机,C=敌机被击中,是相互独立的,定义4,若在此基础上还满足：,一般地，,如果对任意,任意的,具有等式,事件独立性的应用,(1) 加法公式的简化,则,(2) 在可靠性理论上的应用,注意

9、:,的相互独立性,的相互独立性.,在实际问题中往往不是根据复杂的计算确定事件,而是根据对事件本身的分析来确定事件,例7.,加工某一零件需经过三道工序,设第一, 二, 三道,记,如果各道工序互不,解:,=第i 道工序得到次品, (i =1, 2 , 3 ),工序的次品率分别为2% , 3% , 5% ,影响,问加工出的零件的次品率是多少?,A = 加工出来的零件为次品.,则,上式中每一项是三个独立事件的积,可求出它们的概率;,又由于每一项又是互不相容的,按加法原理可求出P(A).,但这样计算较繁.,以下考虑对立事件,由于,显然有,(加工的零件是,而,所以,所求概率为,经三道工序加工的零件的次品率为0.0