北师大版高中数学选修23第一章第5节《二项式定理》教学设计

1、二项式定理教学设计 一、教学目标一、教学目标 1.1.知识与技能：知识与技能： （1）通过利用计数原理证明二项式定理； （2）理解并掌握二项式定理及二项式展开式，并能简单应用. （3）能区分二项式系数与二项式展开式项的系数。 2.2.过程与方法：过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程， 培养学生观察、 分析、 类比、 概括的能力， 以及化归的意识与知识迁移的能力， 体会从特殊到一般的思维方式， 并形成从特殊到一般的 归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。 3.3. 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识、 创新精神，体验二项式定理的发现和创造历程， 体会

2、数学语 言的简洁和严谨。 二、教学重点、难点二、教学重点、难点 重点：重点：理解用计数原理分析(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，并依 此方法得到二项展开式。推导出二项式定理，二项展开式的通项公式，区别二项式系数及 项的系数。 难点：难点：二项展开式中会有哪几种类型的项？展开式中各项的系数如何确定？ 三、教学方法与工具三、教学方法与工具 为了突破难点，突出重点，我采用化归的思想，将二项展开过程化归到熟悉的有放 回问题；设计(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，通过牢牢扣住二项 式定理的核心问题依旧是计数原理的问题， 启发引导问题的解决； 采用多媒体

3、教学手段. 四、教学过程设计四、教学过程设计 课堂环节课堂环节问题串问题串答（预设）答（预设）设计意图设计意图 通过卡通电影卑鄙 的我的画面来吸引 学生的注意力，同时 由此引入 二项 式定 理的学习。 为选择正 确便 捷的 方法得出 各项 系数 铺垫 一、一、 创设情境创设情境设计动画。抛出问题， 如何判断一个数能被 9 整除。它们的规律是如 何得出的？ 二、二、 知识回顾知识回顾我们学了哪些计数方 法？ 三、三、 教授新课教授新课问问 题题1 1 ： 请 将 展 开 并 整理，有几种方法。 分类计数原理、分步计数 原理、排列、组合 枚举法： aa 、 ab、 ba、 bb 共 4 种 分步计

4、数原理:第一步， 第 一次取数有两种方法；第 二步，第二次取数有两种 方法，所以一共22=4 种. 分类计数原理：第一类， （a+b）2是同学们 极为熟悉的展开式， 解决该问 题已 经得 心应手，并能深刻理 解。将新问题回归到 已掌握的知识上，便 于新问题的解决. 都取 a，1 种；第二类，取 不同，2 种；第三类，都 取 b，1 种；共 4 种 思考：思考： 3（a+b） 展开并整理 分步记数原理： 222=8分类记数 原理 和分 分类记数原理：第一类，步记数原 理最终结 三次都不取 b， 当 （a+b） 种；第 果都一样， 3 后有多少项？展开过 程如何？二类， 任一次取 b,其他两 次

5、取a, 种；第三类，任两次取 b, 其他一次取a, 种 ； 第 四 类，全都取 b， 共 种.4 项。 种，即 ,存在着可以合 并的项， 即七年级 时所学的合并同 类项， 合并同类项 最终的结果就是 组合数公式， 由于 学生已学习了组 合数公式，对于解 决该问题 的优 势就 显而易见了。让学 生体会分类记数 原理和分步记数 原理并实现3次展 开式问题的过程。 再次理解（a+b）n 思考：思考： 谁能最快写出 4（a+b） 展开整理后 的多项式，并说出各项 系 数 和 ？ 并 指 出 （a+b）n中当 n=2、 3、4 时共有多少项 展开式与 计数 原理 的联系，特别是展开 式各项的 系数 与分

6、 类记数原理的联系。 理解展开式各项、各 项系数、系数得出的 方法 让学生体 会从特殊 到一般，归纳并证明 的过程. 思考：思考：将（a+b）展 开并整理后，有哪些 项？为什么？ n 板书板书项数： 第一项 第二项 第 n+1 项 0n1n1nn 项：C n a 、C n abC n b 二项式定理： 0n1n1rnrrnn(a b)nC n a C n ab C n ab C n b 二项式系数：C n、Cn C n 01n 通项： 问题问题 7 7：展开 并整理后，各项的项 数、次数有什么规律？ 你能根据规律归纳一 个式子，可以用来表示 其中任一项吗？ 五、五、 例题讲解例题讲解例 1、

7、求(2x+y)5的展开 式 （注意为第 r+1 项） 1.a 的次数与 b 的次数和 为 n； 2.组合数上标与 b 的次数 相同. 3.a 降次,b 升次 让学生在 理解 二项 式定理得 出的 过程 基础上，熟练掌握二 项式定理的特点. 结合二项式定理，试着求 解例题 1 二项式定理的应用 （知识点的应用）并 在此处说 明二 项式 系数与项 的系数不 能等同。 巩固基本知识、基本 概 念 . 并 且 暗 示 例 2、求(1+2x)5的展开 式中 x2的系数 例3、 求解 开式中 x2的系数 六、六、 解开堂疑解开堂疑 问问 展 在例题 1 的基础上，分辨 清楚二项式系数与项的系 数的区别，并

8、且注意项的 系数的正负情况。 (1+x)n的重要性。 二 项展开式 系数 出现 了(-1) ，需要引起 学生的重视。 r 为什么数abcde各位数 之和等于9的倍数就能 被 9 整除。 思考该过程与二项展开式 的联系。并且理解 10n除 以 9 的结果 理解整除 问题 与二 项开展式的联系。 10n 除以9的结果是余1， 以及数 abcde 各位的 余数应该是 a+b+c+d+e。 回忆课程 内容 帮助 巩固所学知识 七、小结七、小结回忆：二项式定理推导过 程、 二项开展式、 二项展开式的通项、展开 式中项的系数与二项式系 数 注意： 系数中-1 的 r 次方 对项的系数的影响 思考求：4x6n+5n+1被 20 除之后的余数。 八、八、 课后思考课后思考请大家思考： 1.本节课新学习