中考数学热身一元二次方程含解析

1、一元二次方程1某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2016年投入5000万元设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A3000（1+x）2=5000B3000x2=5000C3000（1+x%）2=5000D3000（1+x）+3000（1+x）2=50002方程（x2）2=9的解是（）Ax1=5，x2=1Bx1=5，x2=1Cx1=11，x2=7Dx1=11，x2=73有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A8人B9人C10人D11人4如果x=4是一元二次方程x23x=a2的

2、一个根，那么常数a的值是（）A2B2C2D45方程x2=4x的解是（）Ax=4Bx=2Cx=4或x=0Dx=06某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A55（1+x）2=35B35（1+x）2=55C55（1x）2=35D35（1x）2=557方程x（x+2）=0的根是（）Ax=2Bx=0Cx1=0，x2=2Dx1=0，x2=28方程x2=4x的解是9已知关于x的一元二次方程x22xa=0（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值10已知关于x的一元二次

3、方程x2mx2=0（1）若x=1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由11已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m1=0（m为实数），（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解12刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0a3）小时再赶往A镇参加救灾一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时（

4、1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？（3）下列图象中，分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义13某商店购进一种商品，单价30元试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=1002x若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？14如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米

5、求花边的宽15如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？16如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长17（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表方程x1x2x1+x2x1x29x22=02x23x=0x23

6、x+2=0关于x的方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a0，b24ac0）（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论一元二次方程参考答案与试题解析1某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2014年投入3000万元，预计2016年投入5000万元设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A3000（1+x）2=5000B3000x2=5000C3000（1+x%）2=5000D3000（1+x）+3000（1+x）2=5000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题；压轴题【分析】主要考查增长率问

7、题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2014年投入3000万元，预计2016年投入5000万元”，可以分别用x表示2014以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程【解答】解：依题意得2016年投入为3000（1+x）2，3000（1+x）2=5000故选A【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键同时要注意增长率问题的一般规律2方程（x2）2=9的解是（）Ax1=5，x2=1Bx1=5，x2=1Cx1=11，x2=7Dx1=11，x2=7【考点】解一元二次方程直接开平方法【分析】根据平方根的定义首先开方，求得x2的值，进而求

8、得x的值【解答】解：开方得，x2=3解得x1=5，x2=1故选A【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）；ax2=b（a，b同号且a0）；（x+a）2=b（b0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点3有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A8人B9人C10人D11人【考点】一元二次方程的应用【专题】其他问题；压轴题【分析】本题考

9、查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x99=0，解得x=9或11，x=11不符合题意，舍去那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人故选B【点评】主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解4如果x=4是一元二次方程x23x=a2的一个根，那么常数a的值是（）A2B2C2D4【考点】一元二次方

10、程的解【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把x=4代入方程x23x=a2可得1612=a2，解得a=2，故选：C【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义5方程x2=4x的解是（）Ax=4Bx=2Cx=4或x=0Dx=0【考点】解一元二次方程因式分解法【专题】计算题【分析】本题可先进行移项得到：x24x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0【解答】解：原方程可化为：x24x=0，提取公因式：x（x4）=0，x=0或x=4故选：C【点评】本题考查了运用提取公因式的

11、方法解一元二次方程的方法6某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A55（1+x）2=35B35（1+x）2=55C55（1x）2=35D35（1x）2=55【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】如果设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是55（1x），再在这个数的基础上降价x，即可得到35元，可列出方程【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为：55（1x）2=35；故选C【点评】掌握好增长率问题的一般规律，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键7方程x（x+2）=

12、0的根是（）Ax=2Bx=0Cx1=0，x2=2Dx1=0，x2=2【考点】解一元二次方程因式分解法【专题】压轴题；因式分解【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题【解答】解：x（x+2）=0，x=0或x+2=0，解得x1=0，x2=2故选C【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法8方程x2=4x的解是0或4【考点】解一元二次方程因式分解法【专题】压轴题；因式分解【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解【解答】解：原方程

13、可化为：x24x=0，x（x4）=0解得x=0或4；故方程的解为：0，4【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法9已知关于x的一元二次方程x22xa=0（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值【考点】根的判别式；根与系数的关系【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足=b24ac0，从而求出a的取值范围（2）利用根与系数的关系，根据+=即可得到关于a的方程，从而求得

14、a的值【解答】解：（1）=（2）241（a）=4+4a方程有两个不相等的实数根，0即4+4a0解得a1（2）由题意得：x1+x2=2，x1x2=a，a=3【点评】本题综合考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系10已知关于x的一元二次方程x2mx2=0（1）若x=1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程因式分解法【分析】（1）直接把x=1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与0的关系进行判断【解答】解：（1）因为x=

15、1是方程的一个根，所以1+m2=0，解得m=1，方程为x2x2=0，解得x1=1，x2=2所以方程的另一根为x=2；（2）b24ac=m2+8，因为对于任意实数m，m20，所以m2+80，所以对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根【点评】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题11已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m1=0（m为实数），（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解【考点】根的判别式；根与系数的关系【专题】计算题；证明题【分析】（1）只要证得=

16、b24ac0，就说明方程有两个不相等的实数根（2）方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解【解答】（1）证明：a=1，b=m+2，c=2m1，=b24ac=（m+2）24（2m1）=（m2）2+4（m2）20，（m2）2+40即0，方程有两个不相等的实数根（2）解：方程两根互为相反数，两根之和=（m+2）=0，解得m=2即当m=2时，方程两根互为相反数当m=2时，原方程化为：x25=0，解得：x1=，x2=【点评】（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根（2）解题时注意方程两根互

17、为相反数，说明b=012刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0a3）小时再赶往A镇参加救灾一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时（1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？（2）若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？（3）下列图象中，分别描述一分队和二分队离A镇的距离y（千米）和时间x（小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际

18、意义【考点】一次函数的应用【专题】压轴题；开放型【分析】（1）根据题意可直接求出二分队赶到A镇的时间为2.5+0.5+5=8小时；（2）先求出一分队需要的时间是7小时，分两种情况考虑：若二分队在塌方处需停留；若二分队在塌方处不停留，经过讨论后舍去第一种取第二种情况即二分队应在营地休息1小时或2小时；（3）根据实际题意可知合理的图象为（b），（d）【解答】解：（1）若二分队在营地不休息，则a=0，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时），因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需（小时）；（2）一分队赶到A镇共需（小时）若二分队在塌

19、方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a=5，则a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；若二分队在塌方处不停留，则（4+a）（7a）=30，即a23a+2=0，解得a1=1，a2=2经检验a1=1，a2=2均符合题意答：二分队应在营地休息1小时或2小时；（3）合理的图象为（b），（d）理由是：图象（b）表明二分队在营地休息时间过长（2a3），后于一分队赶到A镇；图象（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1a2），先于一分队赶到A镇【点评】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再

20、把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息13某商店购进一种商品，单价30元试销中发现这种商品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=1002x若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】本题的等量关系是每件商品的利润每天的销售量=每天的总利润依据这个等量关系可求出商品的售价，然后代入p与x的关系式中求出p的值【解答】解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件根据题意得：（x30）（1002x）=200，整理得：x280x+1600=0，（x40）2=0，

21、x1=x2=40p=1002x=20；故，每件商品的售价应定为40元，每天要销售这种商品20件【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解14如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米求花边的宽【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：（矩形图案的长+两个花边的宽）（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积【解答】解：设花边的宽为x米，根据题意得（2x+6）（2x+3）=40，解得x1=1，x2=，x2=不

22、合题意，舍去答：花边的宽为1米【点评】本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解15如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题；压轴题【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案【解答】解：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米依题意，有x（x+2）1=15整理，得x2+2x15=0，解得x1=5（舍去），x2=3，这种运动箱底部长为5米，宽为3米由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为（5+2）（3+2）=35做一个这样的运动箱要花3520=700（元）答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元【点评】题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积16如图所示，在长