河北省邯郸市2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）（通用）

1、河北省邯郸市2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则化简即可.【详解】. 故答案为B.【点睛】本题考查了复数的乘方、减法运算，考查了学生的运算能力，属于基础题.2.命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出该命题的否定命题即可【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“x0R，”故答案为A.【点睛】本题考查了全称

2、命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题目3.在建立两个变量与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数判断，其中拟合效果最好的为（ ）A. 模型1的相关指数为0.85B. 模型2的相关指数R2为0.25C. 模型3的相关指数R2为0.7D. 模型4的相关指数为0.3【答案】A【解析】【分析】相关指数的值越大，拟合效果越好.【详解】解：根据相关指数R2越大，模型拟合的效果越好判断：模型1拟合的效果最好故选：A【点睛】本题考查了回归分析思想，在回归分析中相关指数R2越大，模型拟合的效果越好4.13xx34的展开式中常数项为（ ）A. B. C. 23D. 【答案】D【解析】【分

3、析】利用二项展开式的通项公式可得.【详解】13x-x34的展开式中常数项为C4113x3-x3=-427. 故答案为D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题5.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 23【答案】C【解析】【分析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以e=1+(ba)2=10.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题6.假设有两个变量与y的列联表如下表：对于以下数据，对同一样本能说明x与有关系的可能性最大的一组为（ ）A

4、. ，B. ，C. ，D. ，c=4，【答案】B【解析】【分析】当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，只有第二个选项差距大，得到结果【详解】解：根据观测值求解的公式可以知道，当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距： 显然B中最大. 故答案为B.【点睛】本题考查独立性检验，得出ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大是解决问题的关键，属基础题7.设，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程

5、的斜截式，数形结合即可求得z=2x+y的最大值【详解】解：由x，y满足约束条件作出约束条件表示的可行域，解得A(-1,9).由图可知，当直线过点A时，取得最大值7. 故答案为C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8.由数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的三位数的偶数的总个数为（ ）A. 12B. 18C. 30D. 60【答案】C【解析】【分析】可用分步原理求解本题，可分为两类，一类是末位是0，一类是末位不是0.【详解】个数为0，有A42=12个；个位不为0，有个.故共有个. 故答案为C【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是正确理解偶的

6、含义，以及计数原理，且能根据问题的要求进行分类讨论，本题考查了推理判断的能力及运算能力.9.设0p1，随机变量的分布列为当X的数学期望取得最大值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数学期望的概念得出表达式，转化为二次函数求最值.【详解】 ，当 时，取得最大值.故答案为B.【点睛】本题考察了数学期望的求法,二次函数的最值.10.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差.若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有（ ）A. 18种B. 20种C. 24种D. 30种【答案】C【解析】【分析】按分到北京安排1人或者2人分

7、类【详解】若安排一人去北京，有种；若安排两人去北京，有C32A22=6种.故总共有种.故答案为C.【点睛】本题主要考查了排列组合中混合元素排列问题，属于中档题11.的内角A，B，C所对的边分别是a，.已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB12【详解】因为，所以bca2+b2-c22ab+bab2+c2-a22bc=1，整理得，则 cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac 2ac-ac2ac=12.故答案为D.【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应

8、用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题12.已知函数 (a0)，只有一个零点，且x00，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值，得到关于a的不等式，解出即可【详解】，当或时，；当时，.故的极小值为，因为，所以，又，则.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.(3x+1)1x15的展开式中各项系数之和为_.【答案】0【解析】【分析】令，得各项系数之和为0.【详解】解：在的展开式中

9、，令x=1，可得各项系数之和是0.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题14.观察下列不等式：1+12243，1+122+132+14285，照此规律，第五个不等式为_.【答案】1+122+132+142+152+162127【解析】【分析】由上述不等式，归纳出表达式的左侧与右侧分子与分母的特征写出一个正整数n（n2）有关的一般性结论；【详解】因为，所以观察前三个不等式知，等式右边分数分母分别为2+1，3+1，4+1，分子分别为4，6，8，因此其第五个不等式为1+122+132+142+1

10、52+1620)的焦点，曲线C1是以F为圆心，p4为半径的圆，直线23x-6y+3p=0与曲线C，C1从左至右依次相交于P,Q,R,S，则|RS|PQ|=_【答案】215【解析】【分析】由直线23x-6y+3p=0过焦点F，得|RS|SF|p4yS+p2p4yS+p4，|PQ|PF|p4yP+p2p4yP+p4 ，求出S，P的纵坐标代入即可.【详解】x2=2py23x-6y+3p=012y2-20py+3p2=0 ，因为直线23x-6y+3p=0与曲线C，C1从左至右依次相交于P,Q,R,S，所以ys=p6，yp=32p .由直线23x-6y+3p=0过抛物线：x2=2py(p0)的焦点F，所

11、以|RS|SF|p4yS+p2p4yS+p4，|PQ|PF|p4yP+p2p4yP+p4， =3p2+p4p6+p4=74512=215 .故答案为：215【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列an的前n项和为Sn，.（1）求数列an通项公式；（2）设bn=log2an，求数列的前项和Tn.【答案】（1）an=(12)n(nN*)；（2）Tn=nn+1.【解析】【分析】（1）由Sn=1-an，得（nN*，且n2），两式相减得，得an是以12为公比的等比数列，且

12、a1=12，即可得结果；（2）由bn=log2an= ， 得 ，由裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，所以（nN*，且n2），则（nN*，且n2）.即（nN*，且n2）.因为Sn=1-annN*，所以S1=1-a1=a1，即a1=12.所以an是以12为首项，12为公比的等比数列.故an=12nnN*.（2）bn=log2an，所以bn=log212n=-n.所以1bnbn+1=1nn+1=1n-1n+1，故 .【点睛】本题考查了求等比数列的通项公式和裂项相消法求数列和的问题，属于基础题.18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD平面ABCD，PAD=DAB=60

13、，为AB的中点.（1）证明：PECD；（2）求二面角APEC的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）104.【解析】【分析】（1）证明DEAB，PDAB，再证明AB平面PDE，即可证明PECD；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，再求平面APE以及平面PCE的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值，结合图像即可求得二面角A-PE-C的余弦值.【详解】（1）证明：连接，.因为四边形ABCD是菱形且DAB=60，E为的中点，所以DEAB.因为PD平面ABCD，所以PDAB，又DEPD=D，所以AB平面PDE，则ABPE.因为AB/CD，所以PECD. （2）以为原点建立空间直角坐标系O-xyx（其

14、中O为与的交点），如图所示，则P-1,0,23，A0,-3,0，E12,-32,0，C0,3,0.设平面APE的法向量为n=x1,y1,z1，则APn=0，AEn=0，即-x1+3y1+23z1=012x1+32y1=0，令x1=3，得n=3,-1,1.设平面PCE的法向量为m=x2,y2,z2，则PCm=0，CEm=0，即x2+3y2-23z2=012x2-332y2=0，令x2=33，得m=33,1,2.所以cosn,m=nm|n|m|= 10532=104，由图可知二面角A-PE-C为钝角，故二面角A-PE-C的余弦值为-104.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角

15、的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19.已知直线l1:y=kx+2与椭圆C：x28+y22=1交于A,B 两点，l1与直线l2:x+2y4=0交于点M （1）证明：l2与C相切；（2）设线段 中点为 ，且AB=MN,求l1的方程.【答案】（1）见解析（2）y=22x+2【解析】【分析】（1）将直线和椭圆的方程联立消元后根据所得方程的判别式为0可证得结论成立；（2）由|AB|=|MN|并结合弦长公式可得关于k的方程，解方程可得k的值，进而得到所求直线方程【详解】（1）证明：由x28+y22=1x+2y-4=0消去整理得y2-2y+1=0，=4-4=0，l2与

16、相切（注：消去得到关于x的一元二次方程，根据判别式等于0一样得分）（2）解：由y=kx+2x+2y-4=0，得M的坐标为(0,2).由消去y整理得，因为直线l1与椭圆交于A,B两点，所以=(16k)2-32(1+4k2)=128k2-320，解得k214设A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x0,y0)，则，x1x2=81+4k2，所以x0=x1+x22=-8k1+4k2|AB|=|MN|，即1+k2|x1-x2|=1+k2|x0-0|，(x1+x2)2-4x1x2=|x0|，即|8k1+4k2|=424k2-11+4k2，解得k2=12，满足k214k=22，直线l1的方程为y=22x+

17、2【点睛】本题体现了代数方法在解决解析几何问题中的应用，通过代数运算达到解决位置关系和数量关系的目的由于在解题中会遇到大量的计算，所以在解题中要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以达到简化运算的目的20.某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为12.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏

18、损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（）记该厂每月获利为万元，求X的分布列与数学期望；（）以工厂每月获利数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）1132；（2）（）见解析；（）是.【解析】【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障利用二项分布计算公式即可得出（2）X的可能取值为3

19、4，46，58利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障， 故该工厂能正常运行概率为1-126+C61121-125+C621221-124=1132. （2）（）的可能取值为34，46，58，P(X=34)=126=164，P(X=46)=C651251-12=332，P(X=58)=1-164-332=5764，则X的分布列为故EX=34164+46332+585764=1132.（）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610-3=57万元.因为113257，所以该厂应再招聘1名维修工人.

20、【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.已知函数f(x)=(xa)ex(aR).（1）讨论f(x)的单调性；（2）当a=2时，F(x)=f(x)x+lnx，记函数y=F(x)在(14,1)上的最大值为m，证明：4m3.【答案】（1）单调递减区间为-,a-1，单调递增区间为a-1,+；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对Fx求导，得，因为14x1，所以x-10，令gx=ex-1x，求导得gx在14,1上单调递增， x012,1，使得gx0=0，进而得Fx在14,x0上单调递增，在x0,1上单调递减；所以

21、m=Fxmax=Fx0=1-2x0-2x0，令Gx=1-2x-2x ，求导得Gx在x12,1上单调递增，进而求得m的范围.【详解】（1）因为fx=x-aex，所以fx=x-a+1ex，当x-,a-1时，fx0，故fx的单调递减区间为-,a-1，单调递增区间为a-1,+.（2）当a=2时，Fx=x-2ex-x+lnx，则Fx=x-1ex-1+1x=x-1ex-1x，当14x1时，x-10，所以gx在14,1上单调递增，因为g12=e12-20，所以存在x012,1，使得gx0=0，即ex0=1x0，即lnx0=-x0.故当x14,x0时，gx0；当xx0,1时，gx0，此时Fx0.所以Gx在x12,1上单调递增，所以GxG12=-4，GxG1=-3.故-4m-3成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为x=-1-22t,y=2+22t（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos2=sin.（1）