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文档简介
1、2.5.2 圆的切线,【知识再现】 1.如果一条直线与圆相切,那么它们有_个公共 点; 2.已知O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,直线l 与O相切_.,1,d=r,【新知预习】 1.切线的判定定理:经过半径的外端并且_ _的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理:圆的切线_过切点的半径.,垂直于这,条半径,垂直于,【基础小练】 请自我检测一下预习的效果吧! 如图,在O中,AB为直径,BC为弦,CD为 切线,连接OC.若BCD=50,则AOC 的度数为( ) A.40B.50C.80D.100,C,知识点一 切线的判定(P67例2拓展) 【典例1】如图,已知RtABC,C=90,D为BC的中点
2、. 以AC为直径的O交AB于点E. (1)求证:DE是O的切线. (2)若AEEB=12,BC=6,求AE的长.,【尝试解答】(1)如图所示,连接OE,CE. AC是O的直径, AEC=BEC=90. 直径所对的圆周角是90 D是BC的中点,ED= BC=DC. 1=2.OE=OC,3=4. 等边对等角 1+3=2+4,即OED=ACD. ACD=90,OED=90,即OEDE.,又E是O上一点, DE是O的切线. 切线的判定 (2)由(1)知BEC=90. 在RtBEC与RtBCA中,B为公共角, BECBCA. 相似三角形对应边成比例,即BC2=BEBA.AEEB=12,设AE=x, 则B
3、E=2x,BA=3x. 又BC=6,62=2x3x. x=,即AE= .,【学霸提醒】 证明切线的常用方法 1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先作出过此点的半径,再证其与直线垂直; 2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径.,【题组训练】 1.如图,AB是O的直径,点P是O外 一点,PO交O于点C,连接BC,PA,若 P=40,当B等于多少时,PA与 O相切( ) A.20B.25C.30D.40,B,2.(2019廊坊模拟)如图,AB是O的弦,OPOA交 AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
4、 (1)求证:BC是O的切线; (2)若O的半径为 ,OP=1,求BC的长.,解: (1)连接OB.OPOA, A+OPA=90,CP=CB, CPB=CBP,又APO=CPB, APO=CBP. OA=OB,OAP=OBP,OBA+PBC=90,即OBC=90, OBBC,BC是O的切线; (2)略,知识点二 切线的性质(P68例3拓展) 【典例2】(2019宿州一模)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BCD=25. (1)如图1,求ABD的大小. (2)如图2,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的度数.,【自主解答】(1)AB是直径, ACB=90,且BCD
5、=25,ACD=65, ACD=ABD,ABD=65.,(2)连接OD, DP是O的切线, ODP=90, DOB=2DCB, DOB=225=50,P=40,ACDP,P=OAC=40, OA=OC,OAC=OCA=40, OCD=ACD-OCA=65-40=25.,【学霸提醒】 切线的三条性质及辅助线的作法 1.三条性质: (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于圆的半径. (3)圆的切线垂直于过切点的半径.,2.辅助线的作法: 连切点、圆心,得垂直关系.,【题组训练】 1. (2019张家港期中)如图,点P在 O外,PA是O的切线,点C在O上, PC经过圆心O,与圆交于
6、点B,若P= 46,则ACP=( ) A.46B.22C.27D.54,B,2.如图,BE是O的直径,点A和点D是O上的两点,过点A作O的切线交BE延长线于点C. (1)若ADE=25,求C的度数.世纪金榜导学号 (2)若AB=AC,CE=2,求O半径的长. 略,知识点三 切线的判定与性质的综合应用 【典例3】如图,已知BC是O的直径,AC切O于点C,AB交O于点D,E为AC的中点,连接DE. (1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长. (2)求证:ED是O的切线.,【尝试解答】(1)连接CD,如图1. BC是O的直径,BDC=90,即CDAB, 直径所对的圆周角为直角, AD=DB,OC
7、=5,CD是AB的垂直平分线, AC=BC=2OC=10; 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.,(2)连接OD,如图2所示, ADC=90,E为AC的中点, DE=EC= AC,直角三 角形斜边的中线等于斜边的一半,1=2,等边对等角 OD=OC,3=4, 等边对等角 AC切O于点C,ACOC, 切线的性质 1+3=2+4=90, 等量代换 即DEOD, ED是O的切线. 切线的判定,【学霸提醒】 切线判定与性质综合应用 证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线的判定,常常是作垂直证半
8、径或是连半径证垂直.,提醒:若问题中同时出现切线的性质与判定时,要明确区分,若题目中没有给出公共点时,不能人为地设出公共点再连接.,【题组训练】 1.已知AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是O的切线. 略,2.如图,DE是O的直径,过点D作O的切线AD,C是AD 的中点,AE交O于点B,且四边形BCOE是平行四边形. (1)BC是O的切线吗?若是,给出证明;若不是,请说明 理由. (2)若O半径为1,求AD的长. 略,3.(2019雅安中考)如图,已知AB是O的直径,AC,BC是O的弦,OEAC交BC于E,过点B作O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长
9、交BA的延长线于点F.世纪金榜导学号 (1)求证:DC是O的切线. (2)若ABC=30,AB=8,求线段 CF的长. 略,【火眼金睛】 如图,OC是AOB的平分线,P是OC上一点,P与OA相切于D,求证:OB与P相切.,正解:连接PD,过点P作PFOB于点F. OA与P相切于点D,PDOA, 又OC平分AOB,PFOB, PF=PD,OB与P相切.,【一题多变】 如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线上一点,且BC=CD,CEAD于点E.,(1)求证:直线EC为圆O的切线. (2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知PCF=CBF,PC=5,PF=4,求sinPEF的值. 略,【母题变式】 (变换条件)如图,在RtABC中,C=90,BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作O,使O经过点A和点D.,(1)求证:直线BC是O的切线.世纪金榜导学号 (2)若AC=3,B=30,求O的半径.,解: (1)
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