质点运动学-非物理类试题(附解析)-中国科技大学-01

1、第一章 质点运动学 第一章 质点运动学 11 如图 11(a)所示，雷达站探测飞机的方位，在某一时刻测得飞机离该站=4000m， 连线与水平方向的夹角； 经过 0 8s 后， 测得飞机离该站m， 连线 与水平的夹角。求飞机在这段时间内的平均速度。 11 如图 11(a)所示，雷达站探测飞机的方位，在某一时刻测得飞机离该站=4000m， 连线与水平方向的夹角； 经过 0 8s 后， 测得飞机离该站m， 连线 与水平的夹角。求飞机在这段时间内的平均速度。 1 r 1 r 0 1 936. 4200 2 r 2 r 0 2 30 图 11(a) 图 11(b) 解 取坐标系如图 l 一 1(b)所示

2、，两次测得飞机的位矢分别为 jijsinricosrr jijsinricosrr 21003637 24003200 22222 11111 根据平均速度的定义，在 O8s 内飞机的平均速度为 smji j . i .t rr t r v 375546 80 24002100 80 32003637 12 故平均速度的大小为 sm.v 22 2 10626375546 平均速度的方向与 x 轴的夹角为 0 534 546 375 .arctan 12 一直杆， 一端与半径为R的固定大圆环连结在0点， 直杆还穿过套在大环 上的小环M， 如图17(a)。 已知直杆以匀角速绕0点转动， 试求小环M

3、的速度和加速度。 12 一直杆， 一端与半径为R的固定大圆环连结在0点， 直杆还穿过套在大环 上的小环M， 如图17(a)。 已知直杆以匀角速绕0点转动， 试求小环M的速度和加速度。 解1 以0点为原点建立直角坐标系x0y(图17(b)，则小环M的运动学方程为 sin,cosOMyOMx 若t=0时， ，则 t 又 cos2ROM 故 ,cos2 2 tRx tRy2sin 通过求导可得速度 jtRitR j dt dy i dt dx v 2cos22sin2 由此可知速度的大小为 R2， v与y轴的夹角为 t2， 即 2， 从图上可以看出，v的方 向正是M点圆的切线方向。 再求一次导数可得

4、小环M的加速度： jtRitRj dt yd i dt xd a sin42cos4 22 2 2 2 2 由此可知加速度的大小为，方向指向圆心。 2 4 R 解2 以0为原点、x轴为极轴建立平面极坐标系(图17(c)，则小环的运动 学方程 ttRrcos2 小环M的速度 00 0000 cos2sin2 sin2 tRrtR rrtR dt d rr dt dr v 由此可知速度的大小为 R2，v与 0 的夹角为 t，即v正好沿M点的切线方向。小 环M的加速度为 0202 0 2 2 0 2 2 2 cos4cos4 2 tRrtr dt d dt dr dt d rr dt d r dt

5、rd a 此式表明加速度的大小为，其方向指向圆心。 2 4 R 解3 采用自然坐标系， 取大圆上A点， 计算弧坐标的起点， 以运动方向为其正方向(图 17(d)，则小环M的运动学方程： tRRAMs22 则可求得小环M的速度和加速度： 020 22 0 2 0 2 2 00 4 4 2 nRn R R n v dt sd a r dt ds v 13 求篮球运动员作立定投篮时顺利进入篮圈的最佳出手角度。 已知运动员投球 时球距篮圈中心的距离L4 60m， 篮圈距地面的高度为H3 05m， 篮球的直径d 246cm， 篮圈的直径D45cm。 设人的出手高度h=2m，出手速度8ms。 13 求篮球

6、运动员作立定投篮时顺利进入篮圈的最佳出手角度。 已知运动员投球 时球距篮圈中心的距离L4 60m， 篮圈距地面的高度为H3 05m， 篮球的直径d 246cm， 篮圈的直径D45cm。 设人的出手高度h=2m，出手速度8ms。 0 v 解如以出手时球的中心选为坐标原点，坐标系Oxy如图112(a)。 球的运动方程为 2 00 2 1 sin,cosgttvytvx 式中 为球与水平方向的夹角。消去t得 22 2 0 2 22 0 tan1 2 tan cos2 tanx v g xx v g xy 移项整理得 图112(a) 0 2 tantan 2 2 0 2 2 2 0 2 v gx yx

7、 v gx 可解得 2 0 2 2 0 2 0 2 2 11tan v gx y v g gx v 投中篮圈的条件为x=L 时，y=(H-h)。将有关数值代入上式得 0 2 0 1 13.39,73.63 欲使篮球顺利进入篮圈， 还必须考虑篮圈边框的阻挡， 就是说入圈角 不能太小。由图 112(b)可知，仅当 dD 0 90cos 0 才能人圈，即必须满足 0 14.33,6 .24sin45 现在来确定与出手角 21, 相对应的入圈角。 由球的轨迹方程 22 2 0 sec 2 tanx v g xy 可知，斜率 2 2 0 sectan v gx dx dy 当xL 时， tan dx d

8、y 于是 tansectan 2 2 0 v gL 经计算得 0 2 0 2 0 1 0 1 65.19,13.39 50.57,73.63 因为， 故最佳出手角为 0 1 14.33 .73.63 0 。 l一4一溜冰者在冰面上以l一4一溜冰者在冰面上以smv7 0 的速度沿半径R15m 的圆周溜冰。某时刻他 平抛出一小球，为使小球能击中冰面上圆心处， 他应以多大的相对于他的速度抛球，并求 出该速度的方向(用与他溜冰速度之间的夹角 的速度沿半径R15m 的圆周溜冰。某时刻他 平抛出一小球，为使小球能击中冰面上圆心处， 他应以多大的相对于他的速度抛球，并求 出该速度的方向(用与他溜冰速度之间的

9、夹角 表示)。已知人抛球时的高度h=15m。表示)。已知人抛球时的高度h=15m。 解 根据抛球时的高度矗和击中目标离溜冰者的距离， 可以求出抛球 相对于地面的速度， 由于 b v 2 2 1 ,gtytvx b 。 而xR，yh可得 sm g h Rvb 1 . 27 8 . 9 5 . 12 15 2 方向指向圆心。 球相对于溜冰者的速度设为，则 b v 0 vvv bb 于 是 ， 由 图 1 2 5 可 知 smvvv bb 287 1 . 27 2 2 2 0 2 方向2104 28 7 arctan90 00 15 一架飞机在速率u150kmh的西风中行驶，机头指向正北，相对于空

10、气的航速为750kmh。 飞机中雷达员在荧屏上发现一目标正相对于飞机从东北方向 以950kmh的速率逼近飞机。求目标相对于地面的速度。 15 一架飞机在速率u150kmh的西风中行驶，机头指向正北，相对于空 气的航速为750kmh。 飞机中雷达员在荧屏上发现一目标正相对于飞机从东北方向 以950kmh的速率逼近飞机。求目标相对于地面的速度。 解 设为飞机相对于地面的速度，为目标相对于地面的速度，为飞机相 对于空气的速度， 1 v 2 v 1 v 2 v 为目标相对于飞机的速度。由于 风地机地机气风地机地机气 vvvvv 即 uvv 11 ， 0 ， 由图127可得hkmuvv/765 22 11 0 1 1 3 . 11 750 150 arctanarctan v u 即飞机相对于地面的航速为760kmh，方向北偏东。 0 3 .11 因 ， 机地物地物机机地物地物机 vvvvv 即 122 vvv 因此 238 45cos 45sin arctan /527cos2 0 0 2 0 21 212 2 1 2 22 uv vv hk