计算方法上机实验报告

1、计算方法上机实验报告 班 级：XXXXXX 小组成员：XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXXXXXXXXX 任课教师：XXX二一八年五月二十五日前言通过进行多次的上机实验，我们结合课本上的内容以及老师对我们的指导，能够较为熟练地掌握Newton迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、Newton 插值法、Lagrange 插值法和Gauss 求积公式等六种算法的原理和使用方法，并参考课本例题进行了MATLAB程序的编写。以下为本次上机实验报告，按照实验内容共分为六部分。实验一：一、实验名称及题目： Newton迭代法 例2.7(P38):应用Newton迭代法求x

2、3-x-1=0在x=1附近的数值解xk，并使其满足|xk-xk-1|=tolx0=x1;y=subs(f,z,x0);y1=subs(f1,z,x0);x1=x0-y/y1;k=k+1;endx=double(x1)K四、运行结果：实验二：一、实验名称及题目：Jacobi迭代法例3.7（P74）：试利用Jacobi迭代公式求解方程组5-1-1-1-110-1-1-1-15-1-1-1-110x1x2x3x4=-412834要求数值解X(k)满足|X-Xk|210-4，其中X=(1,2,3,4)T为方程组的精确解.2、 解题思路：首先将方程组中的系数矩阵分解成三部分，即：，为对角阵，为下三角矩阵

3、，为上三角矩阵。之后确定迭代格式，（ , 即迭代次数），称为迭代矩阵。最后选取初始迭代向量，开始逐次迭代。最后验证精度。（迭代阵：。）雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大。三、Matlab程序代码：function jacobi(A,b,x0,eps,x1)D = diag(diag(A);%求A的对角矩阵L = -tril(A,-1);%求A的下三角矩阵U = -triu(A,1);%求A的上三角矩阵B = D(L+U);f = Db;x = B*x

4、0+f;n = 1;%迭代次数while norm(x-x1)=eps x = B*x+f; n = n+1;endformat longnxjingdu=norm(x-x1)四、运行结果：实验三：一、实验名称及题目：Gauss-Seidel 迭代法例3.8（P75）:试利用Gauss-Seidel迭代公式求解方程组5-1-1-1-110-1-1-1-15-1-1-1-110x1x2x3x4=-412834，并使其数值解X(k)满足精度要求|X-Xk|210-4，其中X=(1,2,3,4)T为方程组的精确解.2、 解题思路：Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法思路相近，首先将方程

5、组中的系数矩阵分解成三部分，即：，为对角阵，为下三角矩阵，为上三角矩阵。之后确定迭代格式，（ , 即迭代次数），称为迭代矩阵。最后选取初始迭代向量，开始逐次迭代。最后验证精度。（迭代阵：。）Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法相比速度更快，但不全如此。有例子表明：Gauss-Seidel迭代法收敛时，Jacobi迭代法可能不收敛；而Jacobi迭代法收敛时，Gauss-Seidel迭代法也可能不收敛。三、Matlab程序代码：function gauss_seidel(A,b,x0,eps,x1)D = diag(diag(A);%求A的对角矩阵L = -tril(A,-1);%

6、求A的下三角矩阵U = -triu(A,1);%求A的上三角矩阵B = (D-L)U;f = (D-L)b;x = B*x0+f;n = 1;%迭代次数while norm(x1-x)=eps x = B*x+f; n = n+1;endformat longnxjingdu=norm(x1-x)四、运行结果：实验四：一、实验名称及题目： Lagrange 插值法 例4.1（P88）：给定函数fx=x(1+cosx)及插值节点x0=0, x1+8, x2=4, x3=38, x4=2.试构造Lagrange插值多项式，给出其误差估计，并由此计算f316及其误差.2、 解题思路：一般来说，如果我

7、们有个点，各互不相同。那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：，其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：。三、Matlab程序代码：function y=lagrange(x0,x)n=length(x0);%向量长度s=0;for k=1:n%k从1到n的循环 p=1.0; for j=1:n if j=k%“=”不等于的意思 p=p*(x-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end y0=x0(k)*(1+cos(x0(k); s=p*y0+s;endformat longswucha=abs(x*(1+cos(x)-s)四、运行结果：五、La

8、grange插值图像绘制%Lagrange插值图像算法x=linspace(0,1002,200);s=linspace(0,1000,200);x0=0;pi/8;pi/4;3*pi/8;pi/2;n=length(x0);s=0;for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p.*(x-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end y0=x0(k)*(1+cos(x0(k); s=p*y0+s;endplot(x,s,r);grid on;title(Lagrange)xlabel(X),ylabel(Y);axis normal;实验五：一、实验名称及

9、题目：Newton 插值法 例4.3（P96）：已知fx=1+ch2x,试取插值节点x0=0.35, x1=0.50, x2=0.65, x3=0.80, x4=0.95,构造4次Newton插值多项式，由此计算f0.7的逼近值，并指出其绝对误差.2、 解题思路：将拉格朗日插值公式中的改写成：,其中，为待定定系数。又,，。将带入可得：。三、Matlab程序代码：function newton_interpolation(x0,x)format longn=length(x0);syms zf=sqrt(1+cosh(z)2);a(1)=subs(f,z,x0(1);for k=1:n-1 y0

10、=subs(f,z,x0(k); y1=subs(f,z,x0(k+1); d(k,1)=(y1-y0)/(x0(k+1)-x0(k);%一阶差商endfor j=2:n-1 for k=1:n-j d(k,j)=(d(k+1,j-1)-d(k,j-1)/(x0(k+j)-x0(k);%二阶差商及以上 endenddouble(d)for j=2:n a(j)=d(1,j-1);endb(1)=1;c(1)=a(1);for j=2:n b(j)=(x-x0(j-1).*b(j-1); c(j)=a(j).*b(j);endnp=double(sum(c)wucha=double(abs(np

11、-subs(f,z,x)四、运行结果：五、Newton插值图像绘制实验六：一、实验名称及题目： Gauss 求积公式 例5.7（P140）：试构造Gauss型求积公式-11f(x)dxA0fx0+A1fx1+A2fx2,并由此计算积分01t(1+t)2dt.2、 解题思路：设高斯-勒让德求积公式是：,依次代入,解得。利用换元公式变换原式的积分上下限，在套用高斯-勒让德求积公式求得积分。三、Matlab程序代码：function gauss(a,b)syms tf=sqrt(t)/(1+t)2;P=-sqrt(3/5) 0 sqrt(3/5); A=5/9 8/9 5/9; s=0;for i=1:3; x=P(i); y=subs(f,t,(b-a)*x/2+(a+b)/2); s=s+A(i)*y;endformat longS=double(a-b)/2*s)四、运行结果：结束语在本学期的计算方法课程