5.9正弦定理、余弦定理(二）.ppt

1、1,5.9 正弦定理、余弦定理(二）,2020年8月8日星期W,教学目标： 1掌握正弦定理、余弦定理； 2能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题。 教学重点：正弦定理、余弦定理的运用。 教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用,正弦定理可以解什么类型的三角形问题？,已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.,（R为ABC外接圆半径）,一、复 习 引 入：,已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:,若A为锐角时:,若A为直角或钝角时:,在RtABC中(若C=90)有：,在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其 夹角

2、还有什么关系呢？,问题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.,探究,二、新 课 教 学：,余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.,余弦定理的证明除了刚才的向量法，还有一些其他的方法，如初等几何法，坐标系法。下面给出坐标系法的证明，供大家学习参考,证明：以CB所在的直线为X轴， 过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,坐标系法,2余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他

3、两个角。,三、例 题 解 析：,例1 在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C., B180(AC)100.,例2 在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形.,0.7767， A392, B180(AC)5830.,例 3 ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.,解法一：, |AB| ,|BC| ,|AC| ,=, A84.,例 3 ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A., cosA, A84.,解析：,例5 设 =(x1, y1) =(x2, y2) 与 的夹角为 （0），求证：x1x2+ y1y2=| |

4、|cos,终点为A，B，则A=(x1, y1) B=(x2, y2),在ABC中,由余弦定理,=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2, x1x2+ y1y2=| | |cos,例6. 在ABC中，bcosAacosB，试判断三角形的形状,解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,b2c2a2a2c2b2,a2b2,ab， 故此三角形是等腰三角形.,例6. 在ABC中，bcosAacosB，试判断三角形的形状,解法二：利用正弦定理将边转化为角. bcosAacosB 又b2sinB，a2sinA， 2sinBcosA2sinAcosB sinAco

5、sBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，AB， AB0 即AB 故此三角形是等腰三角形.,练 习,1.在ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.在ABC中，若a2b2+c2，则ABC为 ； 若a2=b2+c2，则ABC为 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则ABC为 . 3.在ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 . 4.在ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A= .,钝角三角形,C,等腰三角形 ,直角三角形,锐角三角形,120,余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角