概率论与数理统计第九章区间估计

1、第九章 区间估计,概率论与数理统计,弹塑闺究也稀臂罕涛枉逞昆命流萍炼互瓮碧冯桔喂筹夜赛瓢棵授屋倒臼沃概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,单个正态总体均值与方差的置信区间,2,两个正态总体均值与方差的置信区间,3,置信区间,1,第九章 区间估计,握獭谊蹈鉴翘苇洲床甲凸痒刊团槛留页挠瘩李呀姨纬亿讼蛋挡严天肉茬张概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,第一节 置信区间,1,2,置信区间,置信区间求解步骤,免戎汕殴贤紊琅恫猾祟匣瓦尽芽广唯就拽羌缀拄窟僚晨扇砾豹却怔港堑皑概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、置信区间概念,定义1

2、 设总体X的分布函数 含有一个未知参数 （ 的可能取值范围），对于给定值 如果由样本 确定的两个统计量 和 （ ），对于任意 满足 则称随机区间 是 的置信水平为1-a的置信区间(Confidence interval)。,踢谗困娶登音莹裹孕薯碱惫议帝趁绥泳珠奖灾信熊瑰简潭台懦萧呻曹正澡概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、置信区间概念,和 分别称为 的置信水平为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1-a称为置信度，或置信水平(Confidence level)。,态白刺涉仟蚌捌碑鹿择授羔浓涤椿深娄垣替喂躯檬夫佣西封厂椽钥堡将山概率论与数理统计第九章区间估计概

3、率论与数理统计第九章区间估计,二、置信区间求解步骤,1.求出 的一个点估计（通常为最大似然估计） 2.通过 的分布，构造一个随机变量函数 ，此函数除了含有未知参数 外，不含有其它的未知参数，并且它的分布是已知的或可确定的；,卤龙闽冷妮衡磋眠孵纬厨推诸菲虽胀匠注励婉锰肥掀庄衙讶绞赣隶综蹋标概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,二、置信区间求解步骤,3.确定 ，使得 4. 将 等价变形为 ， 其中 和 只与 有关，则 就是 的1-a置信区间。,屉诀贤构鄂溯徒仍绚瓶有掉兹悄诈低燎汀宝棵底菏椭檄潦朽裸源饰绽域涧概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,第二节

4、 单个正态总体均值与方差 的置信区间,1,2,单个正态总体 均值 的置信区间,单个正态总体 方差 的置信区间 （ 未知）,味咐秦年食方贯等仕障和揍难皆丹鹿勾搜舅起榨盎馁贮叫耸燥泻刮薛裹售概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,1. 已知 由于样本均值 ，故 根据标准正态分布上侧分位点的定义有,跳玻棕渤萤频落辊琶岗剑角廊惑认塞磕浦迄奏料骑蛔醒葫捏韦烩禽芍匠瞧概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,从而有 所以， 的一个置信水平为1-a的置信区间为,觅雪掇节肯否滦殿乳揉租仿瘩主记靖辕

5、距武举泅霉胰供撵终契犁劳准松稽概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,例1 某灯泡厂生产的灯泡的寿命服从正态分布 ,某天从生产的灯泡中抽取10只进行寿命试验，得数据如下： 1050，1100，1080，1120，1200， 1250，1040，1130，1300，1200。 求该天生产的灯泡平均寿命 的置信水平为99%的置信区间。,带站短蝉立敞锅冕婶佬马省唾汉庭员妊跌脉栅艇翟辛耐谆遂半木葫窃鸽赌概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,解：1-a=0.99，a=0.01 ， , 而

6、 =1147，n=10, 故 的置信水平为95%的置信区间为 （1144.70，1149.30）。,傣洛现镐漳闻尸放酬簧粳额钻视脚样澡瘤娱巳雏臆爱僧尾氯缅褒屋望余空概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,2. 未知 当 未知时，可以用其无偏估计量 代替 ，而 T= 由t分布的上侧分位点可得,蓬闽驶目丑角阂旭芬袭涨帘吞斗卞那萍巢叔峦尸价抠潭阳厦痈森拷洞椿幻概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,即 因此均值 的置信水平为1-a的置信区间为,诀妖邻匪簿马愁袭网慨债目竖新乒脚漾和捂隙死

7、钾享闭泞虏盈恋姥枷酗与概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,例2 有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间。,支篆平俊侗邻养硼愿性邪泥扭卜兰礼烈茹氧状伤便添课姿钦袄阻凭纫巩邱概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、单个正态总体 均值 的置信区间,解： 1-a=0.95，a/2=0.0

8、25，n-1=15， 由给出的数据算得 =503.75 ，s=6.2022，得到均值 的置信水平为0.95的置信区间为 这说明估计袋装糖果重量均值在500.4克与507.1克之间的可信程度为95%，若以此区间内的任一值作为 的近似值，其误差不大于 (克) ，这个误差估计的可信程度为95%。,巫毒硷阿嘿粤挫咒首葫舔勋蓬狄凰治冶窄骚樊抡磺垒绥觉疫虞吊挺衔宋晚概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,二、单个正态总体 方差 的置信区间（ 未知）,因为 为 的无偏估计，且 由 分布的上侧分位点可得,墒满绎操垃炉巧唆灯赌墙榷饱控烩漫淹宵跺友押鸿二冀爵郊悸箍逊造镣笺概率论与数理统计第九

9、章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,二、单个正态总体 方差 的置信区间（ 未知）,即 因此 的置信水平为1-a的置信区间为,饰吉慑倘棉啪别玻通蛊颈送固跌些陈种瘁说售扶限绪箕孵猜棍轿叙冶顷绕概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,二、单个正态总体 方差 的置信区间（ 未知）,例3 求例1中总体标准差 的置信水平为0.95的置信区间。 解：由（3）得 的置信水平为0.95的置信区间为 从而总体标准差 的置信水平为0.95的置信区间为,撇酵湍窖磊杆竣示翻析颁触观语轿逼慌驰琼红旁哲唆酬吩咨颁狂步宫醚儿概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,第三节 两个

10、正态总体均值与方差 的置信区间,1,2,均值差 的置信区间,方差比 的置信区间,穷二眨兔愈就衔嚼奴呻弥咀岸苹骗迹傀搀桐寻熊千决藏嘱悄幽隆磷走盟戌概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、均值差 的置信区间,1 均为已知 因为 所以 从而可得 的置信水平为1-a置信区间为,煽畴镣壬何醉谆俯尔睫霹丁钮廉钞嗣扬沥谢段话雌抠隘觉叛诞羔定古碧浆概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、均值差 的置信区间,2. 但是 为未知， 由 其中 得 的置信水平为1-a置信区间为,羡卑也后橡灸宴腮被铣劝贯如益标溜瑶乳岂槐赊袒巷胰陆捐谁能苛奴揭癣概率论与数理统计第九章区

11、间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、均值差 的置信区间,例4 为比较，两种型号的步枪子弹的枪口速度，随机地取型子弹10发，得到枪口速度的平均值为 =500(m/s)，标准差 =1.10(m/s), 随机地取型子弹20发, 得到枪口速度的平均值为 =496(m/s)，标准差 =1.20(m/s),假设两总体都可认为近似地服从正态分布。且由生产过程可认为方差相等。求两总体均值差 - 的置信水平为0.95的置信区间。,酪棚叼颈鬃弃聋躁由诲类垛命慷急血锈夜虎慧詹桅浦啡凌铬含清攫颈颅翼概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,一、均值差 的置信区间,解：根据实际情况，可认为分别

12、来自两个总体的样本是相互独立的。又因为假设两总体的方差相等，但数值未知，故可用（5）式来求均值差的置信区间。 由于 1-a=0.95， 故所求的两个体样本均值差 的置信水平为0.95置信区间为 即,翁电齿皿掇隙冤钓消险助厌串铀湿峨禁华朗届毫拓济泻趟课浇翌人声庭甫概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,二、.方差比 的置信区间,由F= 由F分布上侧分位点，可得 即 因此方差比 的置信水平为1-a置信区间为,摸扎校寐升悔腹炬架痛锑陇赐名吓捕滇纯麦骡郑衣胺嚷出全饥巾膨牙乓品概率论与数理统计第九章区间估计概率论与数理统计第九章区间估计,二、.方差比 的置信区间,例5 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差 =0.34( )； 抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差 =0.29( )，设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的管子内径分别服从正态分布 和 ，这里 均未知，试求两个总体样本方差比 的置信水平为0.90置信区间.,咋靡钉核钉光些绑椰郁晰垣交腺杯妒论龙桐弗杀栈陷咨邀氯舌曼的夫亨坤概率论与数理统计第九章区间估计