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文档简介

1、有趣的杨辉三角,广东仲元中学 张婷,探究与发现,2015年高考刚刚过去,出现了一则新闻:,情境导入,杨辉三角在中代数学史上有重要的地位. 华罗庚先生曾写道: “杨辉是我国宋朝时候的数学家, 他在公元1 2 6 1 年著了一本叫做详解九章算法 的书, 里面画了这样一张图, 门中封二) 并且说这个方法是出于释锁算书, 贾宪曾经用过它. 然而有一点是可以肯定的, 这一图形的发现在我国当时不迟于1 2 0 0 年左右。” 在欧洲,这图形称为“帕斯卡(P as o al ) 三角. ” 因为一般都认为这是帕斯卡在1 6 5 4 年发明的. , 可是无论怎样, 杨辉三角的发现, 在我国比在欧洲要早五百年左

2、右,杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种 几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623-1662）是在 1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年,杨辉三角,问题一:请结合杨辉三角的数图,能回顾总结下我们学习过的杨辉三角的一些规律和性质吗？,上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角),杨辉三角的性质,问题二:杨辉三角有丰富的内涵,请继续从不同角度观察杨辉三角，你还能得出 什么新的发现吗？请分组讨论.,杨辉三角,远近高低各不同,横看成岭侧成峰,“杨辉三角”也叫“帕斯卡三角”，是牛顿首先将“帕斯卡三角”改写成了直角三角形的形式，并对此进行

3、了研究，也利用二项式定理这一工具，和莱布尼茨一起创立了微积分.这里的点睛之笔为之后探究斐波那契数列做了铺垫.,一、杨辉三角的应用,某城市街道呈棋盘形,南北向大街m条,东西向大街n条,小明欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种 ?,3,3,思考:1.何谓最短走法? 2.有多少种方法计算最短走法?,例1:如图，它满足（）第行首尾两数均为，（）表中的推论关系类似杨辉三角，则第行（，）第个数是_ ,二、杨辉三角形的变形,1,1,1,3,2,3,1,1,1,4,6,10,4,10,20,杨辉三角有许多精美的性质，其中有一条为：以杨辉三角每个数为顶点（下面把每个顶点的数叫做杨辉码），从每个顶点向他的下层最接近的两个顶点画两条有向边，构成一个“杨辉图”（见图），则每个顶点上的杨辉码恰为从根到此顶点图的有向路经的条数,例2:将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ，就得到一个 如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三 角形可以看出 ，其中x=_. 令 ， 则 an与/的大小关系为_,三、杨辉三角形的变形,探究拓展,探究题:我们改变杨辉三角的规则, 作三项式 系数三角, 研究

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