刘鸿文材料力学课件--扭转.ppt

1、2020/8/6,1,第三章 扭 转,材料力学,长春工程学院,力学教研室,2007年10月,2020/8/6,2,本章重点、难点 重点 园轴扭转横截面上剪应力计算公式。 园轴扭转变形的计算。 扭转变形构件的强度与刚度条件。 难点 园轴扭转变形的计算。 扭转变形构件的强度与刚度条件。,2020/8/6,3, 3-1 扭转的概念和实例,机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的 钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是 其主要变形之一。,扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线 的相对转动。,扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、 转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力

2、偶。,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。,2020/8/6,4,对称扳手拧紧镙帽,工程实例,汽车传动轴,2020/8/6,5,工程实例,水轮机主轴,机床中的轴,2020/8/6,6,3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,2020/8/6,7,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。,右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向离开截面时扭矩为 正，反之为负。,2020/8/6,8,例题3-1 传动轴如图所示，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入的功率为有 PA = 3

3、6 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为 PB =PC = 11 kW及PD = 14 kW。试画出轴的扭矩图。,解:计算外力偶矩,最大扭矩在 CA段内。,T图：单位：Nm,不合理布置,2020/8/6,9,习题1 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,扭矩Mn-图,（在CA段和AD段）,2020/8/6,10, 3-3 纯剪切,薄壁圆筒的壁厚 d远小于其平均半径 r0 （即 ）,薄壁

4、圆筒扭转时其任一横截面 上的内力是一作用在该横截面上的力偶，该内力偶称作扭矩 T。由内力与应力的关系可知，横截面上的应力只能是切应力。,薄壁圆筒扭转试验,预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。,圆周线保持不变；纵向线发生倾斜,薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。,横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。,横截面上各点处的剪应力的方向必与圆周相切。,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,2020/8/6,11,圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为 相对扭转角 ，用 表示。,圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为 剪应

5、变。用 表示 。,圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。,于是由静力关系，得到,得到,2020/8/6,12,薄壁圆筒切应力计算公式,薄壁圆筒切应变计算公式,薄壁圆筒切应力计算公式推倒过程,2020/8/6,13,二、切应力互等定理,单元体：微小的正六面体,切应力互等定理：两个 相互垂直平面上的剪应力和数值相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。又称为切应力双生定理。,注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。,纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）,在扭转时，左右两侧

6、面（杆的横截面）上只有切应力，方向与y轴平行，前后无应力。,由平衡知：=,2020/8/6,14,该式称为材料的 剪切胡克定律,G 称为材料的 剪切弹性模量 。其单位是 Pa。,剪切胡克定律 只有在剪应力不超过材料的剪切比例 极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。,三、切应变 剪切胡克定律,三个材料常数的关系为,2020/8/6,15,假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动 dx。,因为 很小，所以在变形过程 中上，下两面上的外力将不作 功。只有右侧面的外力(dydz) 对相应的位移 dx 作了功。,dx,当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为,

7、四、剪切应变能,2020/8/6,16,比能为,2020/8/6,17,3-4 圆轴扭转时的应力,从三个方面考虑：几何、物理及静力学方面,2020/8/6,18,预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子 。,试验结果： 等直圆杆扭转变形后，两圆周线绕杆件的轴线相对旋转了一个角度，两圆周线的形状和大小均未改变; 在变形微小的情况下，纵向线则倾斜了一个角度 。,1、几何方面,平面假设：假设横截面象刚性平面一样地绕杆的轴线转动。,2020/8/6,19,倾角 是横截面圆周上任一点 A 处的剪应变，经过半径 O2D 上任一点 G 的纵向线EG 也倾斜了一个角度 它也就是横截

8、面半径上任一点 E 处的剪应变 。,2020/8/6,20,此时式说明 ： 同一半径 圆周上各点剪应变 均相同 ，且其值与 成正比。,2020/8/6,21,此时式说明 ： 同一半径 圆周上各点剪应力 均相同 ，且其值与 成正比 ， 垂直与半径。,由剪切胡克定律,(b),2、物理方面,3、静力学方面,2020/8/6,22,2020/8/6,23,上式为等直圆杆在扭转时横截面 上任一点处的剪应力计算公式,T,2020/8/6,24,称作抗扭截面系数，单位为mm3或m3。,说明：,2020/8/6,25,（2） 公式只适用于符合平面假设的等直圆杆在线弹性范围以内的扭转剪应力计算,极惯性矩及抗扭截

9、面系数的计算,实心圆截面 ：,2020/8/6,26,空心圆截面 ：,其中,2020/8/6,27,等直圆杆扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力 max 不超过材料的许用切应力 ，即,等直圆杆扭转时的最大工作切应力 max 发生在最大扭矩所在横截面（又叫危险截面）的周边上的任一点处，其强度条件应该以这些点（又叫危险点）处的切应力依据，即,根据上述条件，可以解决三个方面的问题 （1）强度校核 （2）截面设计 （3）确定许可荷载,2020/8/6,28,例题32 由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D90mm，壁厚d2.5mm，材料为45钢。使用时的最大扭

10、矩为T1.5kNm。如材料的t=60MPa，试校核AB轴的扭转强度。,解：计算抗扭截面系数,校核轴的强度,所以AB轴满足强度条件。,2020/8/6,29,例题33 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。,解：当两轴的最大切应力同为t时，两轴的许可扭矩分别为,式中，D1为实心轴的直径，若两轴的强度相等，则T1应与T2相等，于是有,实心轴横截面面积为,空心轴横截面面积为,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比：,2020/8/6,30,习题 如图所示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径

11、d2 = 100 mm。扭转力偶矩为mA = 22 kNm，mB = 36 kNm ，mC =14 kNm 。已知材料的许用切应力 = 80MPa，试校核该轴的强度。,解：作轴的扭矩图（图b),虽然 T1 T2 ，但是d1 d2 ， 因此要分别核该两段轴的强度,因此，该轴满足强度要求。,2020/8/6,31,因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计,薄壁圆筒设计,设平均半径 R0=(d+)/2,空心圆轴设计,当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒,习题 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。,2

12、020/8/6,32,习题 一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。,解：设空心圆轴的内、外径分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1,2020/8/6,33,本次课程主要内容,1、薄壁圆筒扭转的切应力,3、传动轴的外力偶矩,2、剪切胡克定律,4、扭矩及扭矩图,5、切应力互等定理,6、圆轴扭转的切应力及其强度条件,2020/8/6,34,谢谢同学们,2020/8/6,35,3-5 圆轴扭转时的变形,作杆的刚度计算,解扭转超静定问题,其中

13、dj代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。因此， 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角j可按下式计算,对于同一材料制成的等直杆常量(G，IP) 当只在两端受一对外力偶作用时，从上式可得,2020/8/6,36,GIP 称为抗扭刚度。,单位长度扭转角：在工程中，对于扭转杆的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率来度量。,IP 称为极惯性矩；单位：m4。,T 称为扭矩；单位：Nm,l 为杆长；单位：m。,j 称为 扭转角；单位：rad，弧度。,j 单位扭转角；单位：rad/m,j 单位扭转角；单位：O/m,2020/8/6,37,等直圆杆扭转时的刚度条件是, 称作许可单位长度扭转角。,j 根

14、据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。,精密机器轴： j = （ 0.15 0.30 ）/m,一般传动轴： j = （ 0.30 .0 ）/m,精度不高的轴： j = （ .0 . ）/m,2020/8/6,38,例题 34 图为某组合机床主轴箱内第4轴的示意图。轴上有、三个齿轮，动力由5轴经齿轮输送到4轴，再由齿轮和带动1、2和3轴。1和2轴同时钻孔，共消耗功率0.756kW；3轴扩孔，消耗功率2.98kW。若4轴转速为183.5r/min，材料为45钢，G80GPa。取t40MPa，,。试设计轴的直径。,解：计算齿轮上外力偶矩为,最大扭矩为,由强度条件得为,由刚度条件得,为了同时满足强

15、度和刚度要求，选定轴得直径D30mm。,2020/8/6,39,习题 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：m1 =1592 Nm， m2 = 955 N m ，m3 = 637 Nm。截面 A与截面B、C之间的距离分别为lAB = 300mm和lAC = 500mm。轴的直径d =70mm，钢的剪变模量为G =80GPa。试求：截面C对截面B的对扭转角。,与m2转向同,解 ：绘制扭矩图。 假设A截面不动，先分别计算截面B、C对截面A的相对扭转角jAB 和jAC 。,2020/8/6,40,再计算截面 C 对截面 B 的相对扭转角 jBC,转向与 m3 相同,设截面B固定不动，先分别计算m1、m

16、3 单独作用下截面 C 对截面 B 的相对扭转角jBC1 和jBC2，然后叠加，即采用叠加法,2020/8/6,41,习题 如图所示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm， M22.3KNm， M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa，试计算jAB和jAC。,0.8kNm,1.5kNm,2020/8/6,42,解：由例题 3-1 得,Tmax=9.56kNm 现计算 Wt 和P,例题 3-6 在例题 3-1 中的传动轴 是由 45 号钢制成的空心圆截面轴，其内外径之比为 = 1/2。钢的许用剪应力 = 40MP，剪变模量为 G = 80GP

17、a ，许可单位长度扭转角 = 0.3 /m 。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。,2020/8/6,43,满足 刚度条件 所必需的外径,解得,满足 强度条件 所必需的外径由,空心圆轴外径不应小于 125.5 mm ，内径不应小于62.75 mm 。在此题中，控制截面尺寸的是刚度条件。,解得,2020/8/6,44,习题 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若j=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：绘制扭矩图 设计杆的外径,代入数值得：,D 0.0226m。,

18、2020/8/6,45, 由扭转刚度条件校核刚度,右端面转角为：,2020/8/6,46,习题 空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19KNm，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。,5kN,1.5kN,4kN,解：,2020/8/6,47,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动 dx。,因为 很小，所以在变形过程 中上，下两面上的外力将不作 功。只有右侧面的外力(dydz) 对相应的位移 dx 作

19、了功。,dx,当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为,2020/8/6,48,比能为,2020/8/6,49,3-7 等直非圆杆扭转时的应力和变形,等直非圆杆，如图所示矩形截面杆扭转后横截面将发生 翘曲 而不再是平面。,等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同。横截面上仍然只有剪应力而没有正应力。这一情况称为纯扭转。或自由扭转。,与圆截面杆比较,2020/8/6,50, 、 两系数可由表 查得。b为矩形截面的短边尺寸。,本节只讨论横截面为矩形的等直非圆杆纯扭转时的情形,角点切

20、应力等于零,边缘各点切应力沿切线方向,最大切应力 发生在长边中点,若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。这一情况称为约束扭转。,矩形截面的应力分布见图。,2020/8/6,51,习题 已知钻探机杆的外径D =60mm，内径d =50mm，功率P =7.35kW，转速n =180r/min，钻杆入土深度L=40m，G =80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。,单位长度阻力矩,2020/8/6,52,习

21、题 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。,因两杆扭转变形时无相对转动,2020/8/6,53,习题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用 剪应力=40MPa，轴的许用单位扭转角 =0. 8/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。,解：画扭矩图,2020/8/6,54,习题 某传动轴设计要求转速n

22、 = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa，j =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：,T,x,7.024KN.m, 4.21KN.m,由刚度条件得：,2020/8/6,55,综上：,全轴选同一直径时, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。,T,x, 4.2

23、1KN.m,2.814KN.m,2020/8/6,56,本次课程内容,1、扭转时的变形,2、刚度条件,3、扭转时的应变能,4、矩形截面的扭转,2020/8/6,57,谢谢同学们,2020/8/6,58,扭转超静定问题,1、根据变形相容条件建立变形几何方程,2、写出扭转角计算公式（物理关系），代入变形几何方程 从而得补充方程,3、补充方程与静力平衡方程联立，即可求解,求解步骤：,例题6-5两端固定的圆截面杆AB，在截面 C 处受一个扭转力偶矩m 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP，试求杆两端的支反力偶矩。,2020/8/6,59,解：去掉约束，代之以支反力偶矩,所以，这是一次超静定问题，须建立一个补充方程。,杆的变形相容条件是，C 截面相对于两固定端 A 和 B 的相对扭转角相等。,变形几何方程,由物理关系建立补充方程,代入几何方程的补充方程,2020/8/6,60,联立平衡方程和补充方程即可解得支反力偶,解得,2020/8/6,61,习题