北京市西城区高三第二次模拟试卷数学理科

1、北京市西城区北京市西城区 20122012 年高三第二次模拟试卷年高三第二次模拟试卷 数学理科数学理科 2012.5 2012.5 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，时间120 分钟，满分 150 分。 第卷（选择题，共第卷（选择题，共 4040 分）分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. . 1已知集合A x|log 2 x 1，B x|0 x c，其中c 0若AU B B，则c的 取值范围是（） （A）(0,1 2执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： f (x) e；f (x) e； f

2、(x) x x；f (x) x x 则输出函数的序号为（） （A）（B） （C）（D） 3椭圆 11 xx （B）1,)（C）(0,2（D）2,) x 3cos (是参数)的离心率是（ ） y 5sin （B）（A） 3 5 4 5 （C） 9 25 （D） 16 25 4已知向量a a (x,1)，b b (x,4)，其中xR R则“x 2”是“a a b b”的（） （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件 5右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg） 数据的茎叶图设1，2两组数据的平均数依次 为x 1 和x2，标准差依次为s 1 和s2

3、，那么（） （注注：标准差s 1 (x 1 x)2 (x 2 x)2L (x n x)2，其中x为x 1, x2 , L , x n 的平均数） n （A）x 1 x 2 ，s1s2 （C）x 1 x 2 ，s1s2 （B）x 1 x 2 ，s1s2 （D）x 1 x 2 ，s1s2 6已知函数f (x) kx1，其中实数k随机选自区间2,1对x0,1，f (x) 0的 概率是（） （A） 7 某大楼共有12层， 有11人在第1层上了电梯， 他们分别要去第2至第12层， 每层1人 因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼 层假设这10位乘客的初始“不满

4、意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度” 增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S， 则S的最小值是（） （A）42 * 8 对数列an， 如果kN N及 1, 2 ,L , k R R， 使a nk 1ank1 2ank2 L k a n 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 （B）41（C）40（D）39 成立，其中nN N，则称an为k阶递归数列给出下列三个结论： 若an是等比数列，则an为1阶递归数列； 若an是等差数列，则an为2阶递归数列； 2 若数列an的通项公式为an n，则an为3阶递归数列 * 其中，正确结论的个

5、数是（） （A）0（B）1（C）2（D）3 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. . 9在ABC中，BC 3，AC 10已知复数z满足(1i)z 1，则z _ 11如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切 线，PB交AC于点E，交O于点D若PA PE， 2，A ，则B _ 3 ABC 60，PD 1，PB 9，则PA_； EC _ 12已知函数f (x) x bx1是R R上的偶函数， 则实数b _； 不等式f (x1)| x| 的解集为_ 13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图 是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何

6、体 的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_ 14曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l : y 1的距离之和等于4的点的轨迹，给出 下列三个结论： 曲线C关于y轴对称； 若点P(x, y)在曲线C上，则| y| 2； 若点P在曲线C上，则1| PF | 4. 其中，所有正确结论的序号是_ 2 三、解答题共 6 小题，共 80 分. . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. . 15 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) cos (x)sin x （）求f ( 2 6 2 )的值； 12 2 （）若对于任意的x0,，都有f (x) c，求实数c的取值范围

7、 16 （本小题满分 14 分） 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD， AB BC，AB 2CD 2BC，EA EB （）求证：AB DE； （）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值； （）线段EA上是否存在点F，使EC/ 平面FBD？若存在， 求出 说明理由 C C B B D D A A E E EF ；若不存在， EA 17 （本小题满分 13 分） 甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是3， 5 乙能答对其中的5道题 规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试， 答对 一题加10分，答错一题（不答视为答错

8、）减5分，至少得15分才能入选 （）求乙得分的分布列和数学期望； （）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率 18 （本小题满分 13 分） 已知抛物线y 4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点 2 uuu ruuu r （）若AF 2FB，求直线AB的斜率； （） 设点M在线段AB上运动， 原点O关于点M的对称点为C， 求四边形OACB面 积的最小值 19 （本小题满分 14 分） 2ax a21 已知函数f (x) ，其中aR R 2x 1 （）当a 1时，求曲线y f (x)在原点处的切线方程； （）求f (x)的单调区间； （）若f (x)在0,)上存在最大值和最小值，求a的取值

9、范围 20 （本小题满分 13 分） 若A n a 1a2 L a n (a i 0或1,i 1,2,L ,n)，则称A n 为0和1的一个n位排列对于 A n ，将排列ana 1a2 L a n1 记为R1(A n )；将排列a n1ana1 L a n2 记为R2(A n )；依此类推， n 直至R (A n ) A n i 对于排列A n 和R (A n )(i 1,2,L ,n1)，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置 ii 数字不同的个数，叫做 A n 和R (A n )的相关值，记作t(A n ,R (A n )例如A 3 110，则 R1(A 3 ) 011，t(A 3 ,R1

10、(A 3 ) 1 i 若t(A n ,R (A n ) 1(i 1,2,L ,n1)，则称A n 为最佳排列 （）写出所有的最佳排列A3； （）证明：不存在最佳排列A 5 ； （）若某个A 2k1 (k是正整数)为最佳排列，求排列A 2k1 中1的个数 参考答案参考答案 2012.5 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1D；2D；3B；4A；5C；6C；7C；8D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9 1i ；10；113，

11、4； 422 1 120，x|1 x 213，3；14 3 注：注：1111、1212、1313 第一问第一问 2 2 分，第二问分，第二问 3 3 分；分；1414 题少填不给分题少填不给分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 15 （本小题满分 13 分） （）解：f ( 3 ) cos2()sin2 cos 5 分 12121262 （）解：f (x) 11 1cos(2x)(1cos2x) 7 分 232 1133 cos(2x)cos2x(sin2xcos2x) 8分 23222 3 sin(2x) 9 分 23 因为x0,

12、，所以2x 2 4 ,， 10 分 333 所以当 2x 3 11 分 ，即 x 时，f (x)取得最大值 23212 所以x0,，f (x) c等价于 2 2 3 c 2 3 ,) 13 分 2 故当 x0,，f (x) c时，c的取值范围是 16 （本小题满分 14 分） （）证明：取AB中点O，连结EO，DO 因为EB EA，所以EO AB1 分 因为四边形ABCD为直角梯形，AB 2CD 2BC，AB BC， 所以四边形OBCD为正方形，所以AB OD2 分 所以AB 平面EOD3 分 所以AB ED4 分 （）解：因为平面ABE 平面ABCD，且EO AB， 所以EO 平面ABCD，

13、所以EO OD 由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz 5 分 因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOB OD OE，设OB 1，所以 O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1) uuu r 所以EC (1,1,1)，平面ABE的一个法向量为OD (0,1,0) 7 分 设直线EC与平面ABE所成的角为， uuu r uuu r uuu r uuu r | ECOD|3 r uuu r 所以sin|cosEC,OD| uuu， | EC |OD|3 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 （）

14、解：存在点F，且 3 9 分 3 EF1 时，有EC/ 平面FBD10 分 EA3 1111242 证明如下：由 EF EA ( ,0, )，F( ,0, )，所以FB ( ,0, ) 3333333 uuu r v vBD 0, 设平面FBD的法向量为v v (a,b,c)，则有uuu r v vFB 0. ab 0, 所以4取a 1，得v v (1,1,2)12 分2 az 0. 33 因为 ECv v (1,1,1)(1,1,2) 0，且EC 平面FBD，所以EC/ 平面FBD 即点F满足 17 （本小题满分 13 分） （）解：设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15,0,15,30

15、1 分 EF1 时，有EC/ 平面FBD14 分 EA3 21 C3C 5C5 51 5P(X 15) 3 ；P(X 0) ； 3 C 10 12C 10 12 2 C1C351 5C5P(X 15) 3 ；P(X 30) 3 5 5 分 C 10 12C 10 12 乙得分的分布列如下： X P 15 1 12 0 5 12 15 5 12 30 1 12 6 分 EX 155115 7 分(15)01530 121212122 3 5 2 5 3 5 81 ，10 分 125 （）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B. 则 P(A) C 3 ( ) ( )(

16、) 223 P(B) 511 11 分 12122 441103 13 分 1252125 故甲乙两人至少有一人入选的概率P 1 P(AB) 1 18 （本小题满分 13 分） （）解：依题意F(1,0)，设直线AB方程为x my 11 分 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y 4my 4 0 3 分 设A(x 1, y1) ，B(x2, y2)，所以 y 1 y 2 4m，y 1 y 2 4 4 分 2 uuu ruuu r 因为AF 2FB， 所以 y 1 2y 2 5 分 y A M C x2 联立和，消去y1, y2，得m 6 分 4 所以直线AB的斜率是2 27 分 OF

17、B （）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到 直线AB的距离相等， 所以四边形OACB的面积等于2SAOB 9 分 因为2SAOB 2|OF | y1 y2|10 分 1 2 (y 1 y 2 )24y 1 y 2 4 1m2， 12 分 所以m 0时，四边形OACB的面积最小，最小值是413 分 19.（本小题满分 14 分） （）解：当a 1时，f (x) (x1)(x1)2x f (x) 2 ，2 分 (x21)2x21 由 f (0) 2， 得曲线y f (x)在原点处的切线方程是2x y 03 分 （）解：f (x) 2 (xa)(ax1) 4 分

18、x21 2x 当a 0时，f (x) 2 x 1 所以f (x)在(0,)单调递增，在(,0)单调递减5 分 1 (xa)(x) a 当a 0，f (x) 2a 2x 1 当a 0时，令f (x) 0，得x1 a，x2 x 1 ，f (x)与f (x)的情况如下： a x 2 (x 2 , )(, x1)x 1 (x 1, x2 ) f (x) f (x) 0 f (x 1) 0 f (x 2 ) 故f (x)的单调减区间是(,a)，( ,)；单调增区间是(a,) 7 分 当a 0时，f (x)与f (x)的情况如下： x f (x) f (x) 1 a 1 a (, x2) x 2 (x 2

19、 , x 1) x 1 (x 1, ) 0 f (x 2 ) 0 f (x 1) 所以f (x)的单调增区间是(, )；单调减区间是( 1 a 1 ,a)，(a,) a 9 分 （）解：由（）得，a 0时不合题意10 分 当a 0时，由（）得，f (x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减， 所以f (x) 在(0,)上存在最大值f ( ) a 0 1 a 1 a 1 a 2 1a21 设x0为f (x)的零点， 易知x0， 且x0 从而x x0时，f (x) 0；x x0 2aa 时，f (x) 0 若f (x)在0,)上存在最小值，必有f (0) 0，解得1 a 1 所以a 0时，若f (

20、x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1 12 分 当a 0时， 由 （） 得，f (x)在(0,a)单调递减， 在(a,)单调递增， 所以f (x) 在(0,)上存在最小值f (a) 1 若f (x)在0,)上存在最大值，必有f (0) 0，解得a 1，或a 1 a的取值范围是(,1 所以a 0时， 若f (x)在0,)上存在最大值和最小值， 综上，a的取值范围是(,1U (0,114 分 20.（本小题满分 13 分） （）解：最佳排列A 3为110 ，101，100，011，010，0013 分 （）证明：设A 5 a 1a2a3a4a5 ，则R1(A 5 ) a 5a1a2a3a4 ， 1 因为 t(A 5 ,R (A 5 ) 1， 所以|a 1 a 5 |，| a 2 a 1 |，|a 3 a 2 |，|a 4 a 3 |，| a 5 a 4 |之中有2个0，3个1 按a5 a1 a2 a3 a4 a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数 码不发生改变，有3次数码发生了改变 但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身， 1 所