函数的插值法5v.ppt

1、北京科技大学数理学院卫宏儒、校正方法、第七章插值法、插值法是函数近似的重要方法之一，被广泛应用。 在生产和实验中，函数f(x )或其表达式不便于仅校正由函数给出的函数值(或其微分值)，而无复杂或表达式，此时建立简单易于校正的函数(x )，或建立各种离散数据的连续模型，f(x ) 具体地说，获得多种内插方法的近似函数的方法：获得根据实验或测量方法获得的函数y=f(x )的差异x0，x1， ，xn处的值y0，y1，yn，并且通过假定函数y=f(x )来构造简单的函数p(x )，从而对f(x )进行互补(a )式叫内插条件。 一般的内插函数是多项式。 当f(x )属于包括节点的最小闭合区间时，用于估

2、计区间a、b的某一点的值与之相应的内插值被称作内插，否则将被称作外插。 近似函数类中选择的一组线性无关函数。 在这种情况下，对应的插值函数将由插值条件确定的一组函数称为插值基函数。 由插值条件(2)得知的Pn(x )的系数是等于(1)的，因为最简单的插值函数是代数多项式Pn(x)=a0 a1x anxn， (1)此时插值问题变为：得到n次多项式Pn(x )，并且要求满足插值条件pn(xi )。 满足由以下n个代数方程组组成的线性方程组a0a1x0an x0n=y0a0a1x1anx1n=y1. a0a1xnanxnn=yn (3)，ai。 当将ai (I=0，1，2，n )求解时，Pn(x )

3、可以被结构化。 但是遗憾的是方程组(3)是病态方程组，次数n越高病态越重。 因此，我们求出了从别的道路得到Pn(x )的方法lagrange插值和Newton插值。 Lagrange内插值，1，Lagrange内插多项式首先从最简单的线性内插值(n=1)开始。 关于此时的插值问题(2)，求出一次多项式L1(x)=a0 a1x以满足条件L1(x0)=y0、L1(x1)=y1，将l1(x)=l0(x)y0l1设为l0(x)=(x-x1)，使用l0(x0)=1 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 (5)将l1(x )、l1(x )称为以x0、x1为节点的内插基函数，线性内插值仅使用2个节点以上的信息，精

4、度差。 为了提高精度，进一步考察了二次多项式L2(x)=a0 a1x a2x2满足条件L2(x0)=y0、L2(x1)=y1、L2(x2)=y2命令l2这三点插值问题假设l0(x)=(x-x1)(x-x2)，并且l0(x0)=1确定其系数，从而获得(x-x1)(x-x2)l0(x )。 l2(x ) 3360 (x-x0) (x-x2) (x-x0) (x-x1) l1(x )=- -。 (x-x1) (x-x2) (x-x0) (x-x2) (x-x0) (x-x1) l2(x )=- -。 (x2-x0)(x2-x1) l0(x )、l1(x )、l2(x )被称为以x0、x1、x2为节点

5、的内插基函数。根据线性内插和二次内插的方法，进一步考虑一般形式的n次多项式Ln(x)=a0 a1x a2x2 anxn，并且满足条件(8)以便容易获得满足Pn(x0)=y0、Pn(x1)=y1、pn(xn )的n次多项式Li (x ) (x-8 ) (x-Xi-1 ) (x-Xi1).(x-xn ) li(x ).(Xi-xn )、 (9)公式(9)是Lagrange内插值多项式，Li (x )被称为以x0、x1、xn为节点的Lagrange内插值基函数。 二、将Lagrange插值的截止误差定理3360ln(x )设为过点x0、x1、x2、xn的n次插值多项式，f(n 1)(x )存在于a、b上。 其中，a，b是证明：符号Rn(x)=f(